Vill du ha ett snabbt svar - sök i databasen: Anpassad Google-sökning 14 frågor/svar hittade Kraft-Rörelse [21406] Jag och min kompis har pratat om airsoft och om lätta eller tunga kulor känns mer. Jag säger att lätta och tunga kulor känns likadant om de har samma energi när de träffar. Tunga kulor går långsamt och lätta kulor går snabbt men om de har tex 1 Joule när de träffar så är det samma sak. Han säger att tunga kulor väger mer och känns därför mer när de träffar även om de har samma energi. Vem har rätt? /Filip
Svar: I fråga 14870 diskuteras ett liknande problem: effekten av skott på handbollsmålvakter. Se även fråga 18622 om bågskytte. Nyckelord: rörelseenergi [14]; 1 https://www.thoughtco.com/what-is-the-physics-of-a-car-collision-2698920 Kraft-Rörelse [20986] Enligt Newton är kinetisk energi Wk=mV^2/2. Inga konstigheter med det, det funkar varje dag i veckan och väcker i sig inte mycket frågor innan man lyfter blicken lite. Gör man det så inställer sig följande fråga, vad är v? Rimligen är det en rumsvektor så i formeln borde V ersättas med |V|^2. Nästa steg är att fråga sig sig vad som referensramen. Formeln fungerar ju uppenbarligen på jordytan, men här börjar problemen för mig. Jordytan är ju redan i rörelse, dels kring jordens axel men oxå kring solen, vintergatan och bort från övriga föremål i universum. Detta innebär tillsammans med att V^2 är icke linjär att energin för att accelerera ett föremål till en viss hastighet borde variera med dygnets timmar, årstiden och riktningen vi accelererar. Något som uppenbarligen inte är fallet. Finns det någon som kan ge mig en fingervisning Svar: Matematiskt kan man härleda samma uttryck lite med stringent genom att betrakta hastigheten som en vektor. Detta görs i
Kinetic_energy#Derivation . Slututtrycket innehåller skalärprodukten v . v som ju är samma som skalären v2. Vad äller referensramen så beror arbetet på denna, och därmed även rörelseenergin, se fråga 14380 . Normalt använer man jordytan som referens, med du skulle även kunna välja jordens centrum och få ett helt annat värde på rörelseenergin. Nyckelord: rörelseenergi [14]; Kraft-Rörelse [18620] Tack på förhand.
S.A. Svar: Låt oss börja med att räkna ut den totala potentiella energin när K och M befinner sig i vila på taket: mgh = (40+80)*10*20 = 24000 J Efter 10 m fall har båda hastigheten v. De har då fallit 10 m. Vi kan räkna ut v genom att sätta rörelseenergin = potentiella energin: mv2/2 = mgh dvs v = sqrt(2gh) = sqrt(2*10*10) = 10*sqrt(2) (Observera att massan m kan förkortas bort, vilket reflekterar att alla kroppar faller lika fort om man bortser från luftmotståndet.) Nu växelverkar K med M så att K:s hastighet blir noll (egentligen borde vi säga fart som är beloppet av hastighetsvektorn). Vi måste bevara rörelsemängden så att den är densamma före och efter knuffen: Före: mK*v + mM*v Efter: 0 + mM*v' där v' är M:s hastighet efter knuffen. Vi får mK*v + mM*v = mM*v' dvs v' = v(1+mK/mM) = 1.5v K faller ytterligare 10 m från hastigheten noll och får därmed sluthastigheten vK = 10*sqrt(2) = 14.1 m/s M har begynnelsehastigheten 1.5v dvs 1.5*10*sqrt(2). Från ekvation (4) i fråga 18438 får vi M:s sluthastighet vM från vM2 = (1.5*10*sqrt(2))2 + 2*10*10 = 450 + 200 = 650 vM = sqrt(650) = 25.5 m/s Rörelseenergierna efter fallet blir alltså 40*(10*sqrt(2))2/2 = 4000 J 80*(sqrt(650))2/2 = 26000 J Totala rörelseenergin blir alltså 30000 J. Den potentiella energin uppe på taket var 24000 J. Var kom då de extra 6000 J från? Jo, skillnaden var det arbete som K utförde på M vid knuffen halvvägs ner. I detta fall (liksom i en oelastisk stöt där rörelseenergi försvinner i form av värme) bevaras allså inte rörelseenergin, så vi kan inte använda energiprincipen för att räkna ut hastigheten efter knuffen. Rörelsemängdens bevarande gäller emellertid alltid i ett system utan externa krafter. Se även Elastic_collision och Inelastic_collision . Fotnot: hur kan detta system antas vara utan extern kraft? Tyngdkraften verkar ju hela tiden på både M och K. Jo, det går bra så länge knuffen halvvägs sker under mycket kort tid. Då kan man anta att totala rörelsemängden bevaras. Nyckelord: rörelseenergi [14]; rörelsemängd [15]; potential/potentiell energi [30]; Energi [18433] Svar: I den mekaniska energin innefattas energiformer som rörelseenergi och lägesenergi. Lägesenergin (potentiella energin) för ett objekt mäts relativt en annan energinivå. En vanlig definition på lägesenergin är arbetet som åtgår för att flytta objektet från oändligheten till position x. Eftersom lägesenergin mäts relativt en nivå som definieras =0, kan lägesenergi mycket väl vara negativ: Antag att vi har ett rymdskepp med rörelseenergi T=0 långt ifrån jorden och definierar dess lägesenergi som U=0. Totala energin är då E=U+T=0. Om rymdskeppet faller in mot jorden kommer dess rörelseenergi T att öka. Eftersom den totala energin E måste bevaras får vi att E = U + T = 0 det vill säga U = -T Eftersom rörelseenergin måste vara positiv (åtminstone i klassisk mekanik) så blir den potentiella energin negativ. Nyckelord: potential/potentiell energi [30]; rörelseenergi [14]; Kraft-Rörelse [18133] Svar: F dx = F dx/dt dt = F v dt = dp/dt v dt = v dp = m v dv Detta integreras från 0 till v och vi får den totala kinetiska energin Ekin = Int(F) dx = Int(m v) dv = mv2/2 Integralen av rörelsemängden är alltså kinetiska energin. Då är alltså derivatan av kinetiska energin med avseende på v rörelsemängden. Se vidare Kinetic_Energy . Nyckelord: rörelsemängd [15]; rörelseenergi [14]; Kraft-Rörelse [17947] Svar: Man kan emellertid göra det kvadratiska beroende troligt genom dimensionsanalys. Energi mäts i J så vi får J = N*m = (kg*m/s2)*m = kg*(m/s)2 dvs rörelseenergin är proportionell (proportionalitetskonstanten är 1/2) mot massan och hastigheten i kvadrat. En annan exponent än 2 hade givit en annan enhet som inte var energi. Nyckelord: rörelseenergi [14]; matematik i fysik [6]; dimensionsanalys [7]; Kraft-Rörelse [16592] Ursprunglig fråga: Fråga: Vad kostar det i energi (diesel) att öka hastigheten från 60 till 80 km/tim resp från 5 till 25/km/tim. Fordonets totalvikt 60 ton resp 20 ton.
Konsekvens: Om man bromsar från 80 till 60 km/tim förlorar man i princip lika mycket i rörelseenergi som det kostat att accelera från 60 till 80 km/tim. Svar: Om hastigheten är v så är luftmotståndet (bromsande kraften) Fluftmotstånd = konstant*v2 (se Drag_(physics) ). Effekten går som F*v, så förlusterna från luftmotståndet går som v3. Å andra sidan kör man längre per tidsenhet, så slutresultatet blir att effektiviteten minskar som v2. Det är klart att det optimala är att köra med så konstant hastighet som möjligt. Om man inte har KERS (se fråga 16552 nedan) så är ju bromseffekten rena förluster. Eftersom rörelseenergin är m*v2/2, kostar det mycket mer energi att accelerera från 60 km/t till 80 km/t än att accelerera från 5 km/t till 25 km/t. Kraften som krävs för accelerationen är (bortsett från luftmotståndet) densamma, men kraften verkar vid den högre hastigheten på en längre sträcka, så den erfordrade energin blir större. Bränsleekonomi för en bil är ett ganska komplicerat ämne med många parametrar, så man kan inte räkna ut bränsleförbrukningen med hjälp av en enkel formel. Det bästa är att pröva själv - vissa bilar visar den ögonblickliga bränsleförbrukningen så för dessa är det enkelt. Låt oss avslutningsvis beräkna hur mycket diesel det kostar att accelerera en 20 tons lastbil från 5 till 25 km/t och från 60 till 80 km/t. Energiutbytet för dieselolja är enligt Energy_content_of_biofuel 40.3 MJ/l. Om vi räknar med en effektivitet på 40% blir energiutbytet 16100 kJ/l. Detta värde har använts för att räkna ut förbrukningen i den sista kolumnen.
Se även fråga 16552 Nyckelord: friktion [53]; rörelseenergi [14]; fossila bränslen [13]; luftmotstånd [11]; 1 http://eartheasy.com/live_fuel_efficient_driving.htm Kraft-Rörelse [16580] Ursprunglig fråga: Svar: Jag tänkte ta upp ett par saker av vad jag tror du frågade om: hur räknar man ut vagnens hastighet i olika punkter och hur stora är g-krafterna? Sajten Lisebergs-Fysik innehåller mycket mer information bland annat om berg-och-dal banor. För att få någon idé om storlekar, hastigheter etc, så har jag tittat på data från ett typexempel, länk 1. En klassisk berg-och-dal bana fungerar så att vagnen dras upp till maxhöjden, och får sedan rulla i princip fritt ner och upp längs spåret. En förenklad version visas i figuren nedan. Vagnen startar med hastigheten 0 från punkt 1. Den accelereras nedför backen och går runt loopen. I verkligheten är naturligtvis loopen lite skruvad så att utgången är vid sidan av ingången. Om vi antar att det inte finns några friktionsförluster kan vi använda energiprincipen för att räkna ut hastigheten i olika punkter: Totala energin = potentiell energi + kinetisk energi, Epot + Ekin = konstant. Vagnens massa är M kg och vi räknar med tyngdaccelerationen g=10 m/s2. Radien på loopen är r=5 m. I tabellen nedan listas värden för punkterna 1-4. De olika kolumnerna är: Nr Punkt nummer h Höjd över nollnivån (lägsta nivån [punkt 2] har h=0) Epot Potentiell energi: Mgh Ekin = 160M - Epot v2 räknas ut från Ekin = Mv2/2 v räknas ut från v2 v2/r är centripetalaccelerationen i cirkelbanan i m/s2 C acc är centripetalaccelerationen uttryckt i g Totalt g är totala g-kraften om vi även tar tyngdaccelerationen i beaktande, se vektordiagrammen längst ner i figuren. I stället för att involvera krafter är det i detta fallet enklare att räkna med accelerationer. Tyngkraften motsvaras då av en acceleration riktad rakt upp med beloppet 1g (de små svarta pilarna i figuren). Vi kan räkna ut vad starthöjden skulle vara om centripetalaccelerationen i punkt 4 skulle vara g, dvs passagerarana skulle vara tyngdlösa: v2/r = 10 -> v2 = 10*5 = 50 Ekin = Mv2/2 = M*50/2 = 25M Potentiella energin 25M motsvarar höjden 2.5 m, så starthöjden behöver vara 12.5 m för att centripetalaccelerationen i punkt 4 precis skall kompensera tyngaccelerationen. Kommentarer 1 Maximala g-kraften i detta exemplet är 7.4 (i punkt 2) medan det i länk 1 sägs att den maximala g-kraften är 4. Ett skäl till avvikelsen kan vara att loopen inte vilar på lägsta nivån eller har större radie. Ett annat skäl är att man gör inte loopen cirkulär, utan päronformad med tjocka änden nedåt. Man får då en större krökningsradie där vagnen rör sig snabbast, och en mindre radie där den rör sig långsammast. Man jämnar alltså ut g-kraftena i loopen. 2 Det kan tyckas farligt att vagnen är upp-och-ner i toppen av loopen. I moderna anläggningar (men inte i den avbildade nedan) har man dubbla skenor både över och under hjulen. Om alltså vagnen skulle tappa fart så att den inte går tillräckligt snabbt på toppen, så skulle den ändå hänga kvar i de extra skenorna. Se även Berg-_och_dalbana . Nyckelord: *nöjesparksfysik [12]; g-krafter [18]; potential/potentiell energi [30]; rörelseenergi [14]; Kraft-Rörelse [15710] Samtidigt antar vi att raketen under denna acceleration har ett konstant gaspådrag, dvs bränsleutflödet är konstant för att uppnå den konstanta kraften som för raketen framåt. Mängden bränsle, dvs energi, som isåfall går åt de första 5 sekunderna är då lika stort som mängden bränsle som går åt de andra 5 sekunderna. Men rörelseenergin blev ju större de andra 5 sekunderna. Hur går detta ihop? Är energin i bränslet och den kinetiska energin ej samma sak? Eller är det något annat antagande här som ej är rimligt? (Vi antar att dessa 10 sekunder är en så kort tid, så att massan på det bränsle som lämnar raketen är så liten så att man kan approximativt säga att raketens massa är konstant.) Svar: Om vi väljer raketen som koordinatsystem, så fungerar det bättre. Om raketmotorns utströmningshastighet (se raketekvationen ) är Ve och m kilo kastas ut varje sekund, så är den kinetiska energin hos gasen lika med mVe2/2 varje sekund. Se även fråga 14380 Nyckelord: rörelseenergi [14]; Kraft-Rörelse [14738] Ursprunglig fråga: Jag kan anse att luftmotståndet och friktionen inte har någon påverkan och jag har listat ut att det har något med rotationen av kulan att göra, så min fråga är nu. Vart tar energin vägen på sin resa ned för kulbanan? svara gärna snabbt, arbetet ska lämnas in denna veckan.. Svar: Vi börjar med att bortse från kulans rotation. Antag kulans massa är m och dess sluthastighet v. Då gäller enligt energiprincipen (potentiell energi på höjden h = kinetisk energi vid botten): mgh = mv2/2 dvs v2 = 2gh Om kulan inte glider alls kommer den att sättas i rotation. Om tyngdpunktens hastighet i detta fallet är u, kommer vinkelhastigheten w att vara u/r där r är kulans radie. (Du får detta resultat eftersom den del av kulan som rör vid kulbanan har hastigheten 0 i förhållande till banan - kom ihåg, inget glid!). En homogen kulas tröghetsmoment ges av J = 2mr2/5 (Tröghetsmoment#Exempel ) och rotationsenergin är Jw2/2. Vi adderar translations-kinetiska energin och rotationsenergin och får mgh = mu2/2 + (2mr2/5)(u/r)2/2 = mu2(1/2) + mu2(1/5) dvs u2 = (10/7)gh = 1.43gh Detta är klart mindre än 2gh som vi fick ovan eftersom ju en del energi går till kulans rotationsenergi. Förhållandet u/v blir ungefär 0.85, alltså 15% lägre hastighet än en kula som glider perfekt och inte roterar. Förhållandet mellan rotationsenergi och translationsenergi blir enligt ovan (1/5)/(1/2) = 2:5. Tillägg om puttning i golf Golfspelare som puttar bra ser till att slå till bollen med en något uppåtgående rörelse för att bollen om möjligt skall börja rulla omedelbart. Om man slår till bollen helt centralt kommer bollen att glida ett tag på gräset. Friktionen kommer efter ett tag att få bollen att rulla, men rotationsenergin måste tas från rörelseenergin. Bollen bromsas alltså upp för att den skall kunna få rotation. Det visar sig att längden på puttarna blir mycket mer konsistent om man kan få bollen att rulla direkt vid tillslaget. Tekniken att få överspinn på bollen direkt vid tillslaget används även t.ex. i biljard då man oftast slår till bollen ovanför ekvatorsplanet vilket får bollen att börja rulla omedelbart. /*fa* Nyckelord: tröghetsmoment [9]; lutande plan [15]; *idrottsfysik [42]; rörelseenergi [14]; golfboll [15]; Kraft-Rörelse [14380] Betyder detta att om man sitter i en lastbil som kör 10 m/s och i den har en massa på 1 kg som man inne i lastbilen accelererar till en hastighet (relativt med lastbilen) 10 m/s i färdriktning d.v.s 20 m/s absolut hastighet, behöver 3 gånger mera kinetisk energi än om man accelererar massan när lastbilen står stilla? Detta är något som jag inte får att riktigt hänga ihop!
Några upplysningar om var jag tänker fel. Svar: Kinetiska energin för en kula på 1 kg och hastighet 10 m/s är som du säger 50 J och kinetiska energin vid en hastighet av 20 m/s är 200 J. Skillnaden är alltså 150 J. Vi har två system: marken och lastbilen. Deras relativa hastighet är konstant 10 m/s. Du sitter på lastbilen och påverkar kulan med en konstant kraft F under en tid T tills den rör sig med hastgheten 10 m/s i lastbilens framåtriktning. Kulan har då den kinetiska energin 50 J sett från lastbilen. Sett från marken är dess kinetiska energi 200 J efter din acceleration av massan, medan den före accelerationen hade kinetiska energin 50 J. Sett från lastbilen får alltså kulan en energiökning av 50 J. Sett från marken är ökningen 200-50 = 150 J! Hur kan detta komma sig? Är inte energin bevarad? Kan vi använda detta för att göra en evighetsmaskin? Nej, tyvärr inte. Om man räknar korrekt så är det inget problem. Observatörer i de båda systemen är överens om kraftens storlek F (den kan t.ex. visas med en kraftmätare) och de är överens om hur länge kraften appliceras T (vi talar här om normala hastigheter, vid relativistiska hastigheter har vi problem här). Lastbilssystemet: tillförda energin är kraften*sträckan dvs Fx'. Medelhastigheten är (0+10)/2 = 5 m/s (likformig acceleration). Sträckan kraften verkar blir då x' = 5T, och den tillförda energin 5FT. Marksystemet: tillförda energin är kraften*sträckan dvs Fx. Medelhastigheten är (10+20)/2 = 15 m/s (likformig acceleration). Sträckan kraften verkar blir då x = 15T, och den tillförda energin 15FT. Vi ser att tack vare att sträckan x uppfattas som längre i det fixa systemet, så blir det tillförda energin tre gånger så hög i detta system, helt i enlighet med ovanstående värden 50 J och 150 J. Nyckelord: inertialsystem [6]; rörelseenergi [14]; arbete [24]; Kraft-Rörelse [14115] Svar: Vi har en fallrörelse men konstant acceleration g och fallsträckan x. Då gäller: x = gt2/2 och v = gt Kinetiska K energin blir alltså K = mv2/2 = m(gt)2/2 = mg22x/(2g) = mgx Om vi sätter g=10m/s2 får vi
Lägesenergi kallas ofta potentiell energi. Nyckelord: rörelseenergi [14]; potential/potentiell energi [30]; Kraft-Rörelse [13592] Svar: En partikels rörelseenergi (kinetiska energi) Ek är lika med arbetet partikeln kan utföra på grund av sin rörelse. Man kan härleda (rörelseenergi eller fråga 13327 ) att Ek = mv2/2 där m är kroppens massa och v dess hastighet. Se länkarna för artiklar på engelska resp. svenska om rörelseenergi. Nyckelord: Newtons rörelselagar [21]; rörelseenergi [14]; Energi [13327] Ursprunglig fråga: Svar: Ja, det kan tyckas konstigt! Låt oss först föreställa oss en väska som står på marken. Utför den något arbete? Du håller nog med om att den inte gör det. Det är samma sak om du håller den i handen. Varför blir du då trött? Det är en fysiologisk effekt. För att hålla väskan stilla måste du spänna musklerna i armen. Detta kräver energi som kommer från t.ex. socker som transporteras med blodet. Om du nu inte utför ett arbete på väskan, var tar denna energi vägen? Vi måste ju hålla fast vid energiprincipen (energi kan varken skapas eller förstöras)! Jo den övergår i värme. Tänk på att när du arbetar hårt (t.ex. springer) så blir du varm. Om du ställer ner väskan på golvet? Då utför du på samma sätt som ovan inget arbete eftersom kraften du påverkar väskan med är motsatt rörelseriktningen. Eftersom kraft och rörelse är i motsatta riktningar (din motkraft uppåt, rörelseriktningen neråt), så blir det av dig utförda arbetet negativt. Detta skall man tolka så att tyngdkraften utför ett arbete på dig. Om du vore annorlunda konstruerad (t.ex. med en motvikt som transporteras uppåt med hjälp av tyngdkraftsarbetet) skulle du kunna tillgodogöra dig och lagra detta arbete. Om du släpper väskan då? Då ökar ju rörelseenergin. Ja, men då är det tyngdkraften som utför arbetet. Nedanstående bild från länk 1 ger exempel på krafter som inte utför arbete. Är inte fysiken underbar - man kan "förklara" allt ! Arbete och rörelseenergi Arbete definieras som dW = F·ds, där F är kraften som verkar på kroppen under sträckan ds i samma riktning som ds. (se även Fysikaliskt_arbete ). Om en kropp med massan m påverkas av en kraft F kommer kroppen att accelereras (acceleration a) och det utförda arbetet att förvandlas till rörelseenergi (vi bortser från friktion): F ds = m a ds = m dv/dt ds = m dv ds/dt = m v dv Integration från 0 till v ger rörelseenergin (kinetiska energin) K K = int(m v dv) = mv2/2 Rörelseenergin är alltså det mekaniska arbete som krävs för att reducera en kropps hastighet från v till noll eller omvänt öka hastigheten från 0 till v. Om F och ds är motriktade (du puttar på en bil som rör sig mot dig) så är produkten F*ds negativ, och du utför ett negativt arbete på bilen. Bilen får då minskad rörelseenergi, dvs den bromsas upp. Krafter som inte utför arbete Ovanstående gäller förstås bara om det finns en komponent av kraften i rörelsens riktning. Det finns flera exempel på att en kraft verkar på en kropp utan att utföra arbete. Det mest uppenbara är kraften som påverkar en laddad partikel i ett homogent magnetfält, Lorentzkraften. Om laddningen är q, magnetfältet B och hastigheten v så blir kraften (se Lorentzkraft ) F = q (v x B) där F, v och B är vektorer. Kraften, och därmed avböjningen är alltså vinkelrätt mot magnetfältet och mot rörelseriktningen. Det utförs alltså inget arbete på laddningen, och den kan fortsätta i en cirkel med konstant radie hur länge som helst. Detta drar man nytta av i en synkrotron där man kan lagra elektroner som kan cirkulera i princip hur länge som helst. Visserligen får man accelerera dem lite grann, men det beror på att elektronerna sänder ut ljus, s.k. synkrotronstrålning (Synkrotronstrålning ), när de avböjs. Ett annat exempel är en satellit som kretsar kring en planet i en exakt cirkulär bana med konstant hastighet. Eftersom gravitationskraften är riktad mot planeten och rörelseriktningen vinkelrätt däremot utför kraften inget arbete. Vi kan se att om gravitationskraften utfört ett arbete så måste satellitens bana ändras på något sätt om vi skall bevara den totala energin. Lägesenergi För att generalisera till elliptiska banor behöver vi definiera ännu ett begrepp. Lägesenergi är energi som finns hos ett föremål som påverkas av ett kraftfält, så som gravitation eller elektriska fält. Lägesenergi anges jämfört med en referenspunkt – exempelvis kan lägesenergi från gravitation anges jämfört med markhöjd eller havsnivån. Den mest strikta referenspunkten är en punkt på oändligt avstånd, där alla kraftfält är 0. Sett ur det perspektivet är den potentiella energin negativ för alla föremål i universum. Om satelliten däremot går i en elliptisk bana finns det en komponent av gravitationskraften i rörelseriktningen: när satelliten rör sig närmare planeten utför gravitationskraften ett arbete på satelliten, vilket medför att satellitens hastighet ökar. När satelliten rör sig bort från planeten utför gravitationskraften ett negativt arbete (kraften och rörelsen är ju motriktade). Detta arbete tas från satellitens rörelseenergi som alltså minskar. Den totala energin E dvs summan av kinetisk energi (K) och lägesenergi (U(r)) är konstant: E = K + U(r) När satelliten kommer närmare planeten kommer alltså K att öka. U(r) blir då mer negativt för att E skall vara konstant. Vi förutsätter då den normala definitionen att lägesenergin U(∞) på oändligt avstånd är 0. Anmärkning: Potentiell energi används ofta som synonymt till lägesenergi. Potentiell energi är emellertid ett lite vidare begrepp eftersom det även innefattar elastisk energi. Se vidare Mekaniskt_arbete , Rörelseenergi , Potentiell_energi och länk 2. Nyckelord: arbete [24]; rörelseenergi [14]; potential/potentiell energi [30]; *fysiologi [13]; satellitbana [15]; 1 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/work2.html Frågelådan innehåller 7624 frågor med svar. ** Frågelådan är stängd för nya frågor tills vidare **
|
Denna sida från NRCF är licensierad under Creative Commons:
Erkännande-Ickekommersiell-Inga bearbetningar.