Svar:
I princip är detta lätt, men matematiken är rätt besvärlig. Figuren nedan visar en fyrkantig potentialbarriär. Det finns tre områden längs z-axeln: till vänster om barriären, på barriären och till höger om barriären. Partikels totala energi E är i allmänhet mindre är barriärens höjd.

Man börjar med att ställa upp schrödingerekvationen för de tre områdena. Man får då tre olika vågfunktioner. Lösningen i t.ex. det vänstra området är en våg som rör sig från vänster till höger (de infallande partiklarna) och en våg som rör sig från höger till vänster (de partiklar som reflekteras av barriären). I det högra området är lösningen en våg som rör sig från vänster till höger (transmitterade partiklar). I barriärområdet är lösningen en exponentialfunktion.

Genom att tvinga vågfunktionerna att vara kontinuerliga med kontinuerliga derivator kan man bestämma samband mellan de i vågfunktionerna ingående konstanterna. Transmissionen räknas sedan ut som

&124;amplituden hos den högra vågfunktionen&124;²/
&124;amplituden hos den högergående vänstra vågfunktionen&124;².

Beräkning av barriärpenetration för en endimensionell lådpotential finns här: Quantum_tunneling. Alpha Halflife vs Kinetic Energy är ett mer realistiskt exempel där man kan räkna på olika alfa-sönderfall.

Quantum Mechanics with MATLAB är ett mycket bra MATLAB-paket för kvantmekaniska beräkningar.

/Peter E 2005-12-18

Svar:
Oskar! Modellen som beskrivs i fråga [13733] - elektronfördelningen är som ett suddigt moln - är mer realistisk. Elektroner kan pga Heisenbergs obestämdhetsrelation inte stängas in i kärnan. Innan man upptäckte neutronen (1932) trodde man att atomkärnorna innehöll elektroner för att ge rätt kärnladdning. Det visade sig emellertid att obestämdhetsrelationen gjorde att elektroners rörelse inte kan begränsas till kärnan. När man upptäckt neutronen och förstått att en kärna består av Z protoner och N neutroner (där A=Z+N är masstalet) så var problemet löst: det krävdes inga elektroner i kärnan så de fick hålla sig på mycket större avstånd.

Oskar kom tillbaka med följande fråga:

Jag har försökt bli klok på varför man inte kan bestämma elektroners exakta position och varför de inte kan befinna sig i atomkärnan enligt Heisenbergs obestämdhetsrelation, men jag begriper mig inte på den. Kan ni förtydliga vad det egentligen obestämdhetsprincipen säger?

Oscar! Det var det konventionella svaret du fick, och jag håller med att jag kunde varit lite tydligare. Så låt oss först räkna lite.

Obestämdhetsrelationen ges av (Heisenberg_uncertainty_principle):

DxDp_x = h/4p (1)

Om vi stänger in en elektron i en atomkärna så är Dx ungefär 10^-15 m. Vi får då

Dp = 0.510^-34/10^-15 Js/m = 0.510^-19 Ns

För att få en bättre uppfattning om vad detta betyder gör vi om rörelsemängd p till energi E. Det relativistiska sambandet är (vi måste använda relativistiska samband eftersom hastigheten är hög)

E² = (pc)² + (mc²)² (2)

Eftersom energin kommer att visa sig vara mycket hög så kan vi försumma elektronens viloenergi mc² och får det enkla sambandet

E = pc (3)

(Detta är för övrigt även sambandet mellan energi och rörelsemängd för en foton.) Vi får

E = 0.510^-19310⁸ Nsm/s = 1.510^-11 J = 1.510^-11/(1.60210^-13) MeV = 100 MeV.

För det första kan vi konstatera att det var OK att försumma vilomassan för elektronen (0.511 MeV). För det andra ser vi att detta är en mycket hög energi och vi känner ingen kraft som är stark nog att hålla elektronen fångad. Coulombkraften räcker inte till på långa vägar - den ger det lägsta tillståndet (1s) i en atom på medelavståndet 10^-10 m, vilket är fem storleksordningar större än atomkärnans utsträckning.

Små system som atomer och kärnor följer alltså inte de lagar vi är vana vid i vardagen. Två olika laddade klot attraherar varandra och kommer att fastna vid varandra. Elektroner följer emellertid kvantmekanikens lagar och måste bland annat lyda Heisenbergs obestämdhetsrelation.

Det är emellertid inte helt lätt att tolka vad kvantmekaniken säger oss om naturen. Se t.ex. KvantmekanikExempel_p.C3.A5_tolkningar.

De flesta fysiker föredrar Köpenhamnstolkningen. Den sista, lite skämtsamma, "håll käft och räkna!" är inte heller så dum. Även om kvantmekaniken är svårförståelig så stämmer resultatet mycket bra med observationerna, och det är det viktigaste för en fysikalisk teori.

Länkarna 1 och 2 är svar på liknande frågor.

Man kan även resonera på ett annat sätt: om man stänger in elektronen i en låda om 210^-15 m så måste våglängden vara högst 410^-15 m (vågen måste ha en nod där potentialen blir oändlig). Vi får rörelsemängden

p = h/l = 6.6 10^-34/4 10^-15 = 2 10^-19 Ns

vilket är av samma storleksordning som ovan.
/Peter E 2010-05-23

Svar:
Nobelpris i fysik 2015

Neutrinooscillationer

Takaaki Kajita, Arthur B. McDonald

”för upptäckten av neutrinooscillationer, som visar att neutriner har massa”

Neutrino: Neutrinon är en elementarpartikel, som tillhör gruppen leptoner och saknar elektrisk laddning. Den har halvtaligt spinn och är därför en fermion. Neutrinon har mycket liten massa och är universums mest förekommande partikel.

Neutrinooscillationer är ett fenomen i elementarpartikelfysiken som innebär att neutriner, som kan skapas och detekteras i tre väl definierade skilda slag (aromer) kan ändra karaktär på väg från källa till detektor.

Neutrinooscillationer kan inträffa om elektron-, myon- och tauneutriner har olika massa, vilket innebär att de inte alla kan vara masslösa. I partikelfysikens standardmodell är neutrinerna exakt masslösa. Vittnesbörd om neutrinooscillationer är därför ett tecken på ny fysik bortom Standardmodellen. (Från svenska Wikipedia)

Neutrinoocillation är ett kvantmekaniskt fenomen, och som vanligt när det gäller dessa är det svårt (på en fundamental nivå omöjligt) att förstå, se Neutrino_oscillations. Lite kan man dock förstå relativt enkelt:

De tre aromerna av neutriner är sammansatta av tre neutriner med olika massa (m₁, m₂ och m₃):

&124;elektron> = e₁&124;m₁> + e₂&124;m₂> + e₃&124;m₃>

&124;myon> = m₁&124;m₁> + m₂&124;m₂> + m₃&124;m₃>

&124;tauon> = t₁&124;m₁> + t₂&124;m₂> + t₃&124;m₃>

Massdifferenserna mellan typ 1, 2 och 3 är mycket små - bråkdelar av eV. Energier hos typiska neutriner vi observerar är MeV eller GeV. Men det är den totala energin vi måste bevara - det finns inget som säger att vilomassan skall bevaras. Vi behöver alltså "fuska" med energier av storleksordningen meV när vi har MeV tillgängligt. För att uppfylla bevarandet av energin rör sig de olika egentillstånden (som ju har lite olika massor) med lite olika hastighet.

Det finns en klassisk mekanisk analog till neutrinooscillation: två kopplade pendlar, se
Neutrino_oscillationsClassical_analogue_of_neutrino_oscillation.

Det finns andra exempel från kvantmekaniken där två tätt liggande nivåer blandas och förorsakar interferens och att systemet oscillerar mellan två mycket olika tillstånd.

I fråga [125] beskrivs en annan observation som tyder på att neutrinon har en vilomassa som är större än noll.
/Peter E 2010-11-25

Svar:
Hej Thomas! Du syftar på artikeln under länk 1. Att man behöver relativistiska korrektioner vid beräkningar av atomära nivåer är inget nytt. Detta gäller särskilt de innersta skalen. Det är däremot lite förvånande att relativitetskorrektionerna har så stor påverkan på elektriska egenskaper som ju styrs av de yttre skalen. Mer om detta nedan.

Som alltid vill jag emellertid varna för modellen att elektronerna är små laddade kulor som snurrar i banor kring kärnan och riskerar falla ner i densamma, se fråga [13733] och [17237]. Verkligheten är såpass annorlunda de bilder vi kan föreställa oss eftersom vår erfarenhet kommer från den makroskopiska världen där partiklar och vågor uppför sig "normalt".

För att "förstå" atomära system löser man en ekvation, schrödingerekvationen (SE), se Schrödinger_equation. För atomer som är mer komplexa än väteatomen är det inte trivialt att lösa SE och man tvingas till approximationer och omfattande iterativa processer.

SE tar inte hänsyn till relativistiska effekter, t.ex. att en elektrons massa beror av dess hastighet (speciella relativitetsteorin). Diracekvationen (Dirac_equation) gör emellertid detta. Problemet är att den är ännu mer svårhanterlig.

Artikeln från Uppsala universitet (länk 2 är en light-version, originalartikeln är bitvis rätt svår att förstå för icke-specialister) redovisar en beräkning av energinivåerna i bly både icke-relativistiskt och relativistiskt. Man kan med den relativistiska lösningen mycket bra reproducera EMS (fråga [17476]) för ett blybatteri. Den icke-relativistiska lösningen avviker emellertid väsentligt från de c:a 2V man observerar.

För tenn (som ligger ovanför bly i det periodiska systemet och borde likna bly) är den relativistiska effekten mycket mindre, vilket medför att tennbatterier är ganska värdelösa eftersom EMS är mycket liten. Anledningen är att tenn har betydligt lägre kärnladdning än bly (50 respektive 82), vilket innebär att elektronerna rör sig långsammare i tenn.

Det visar sig från räkningarna att det är framför allt 6s nivåerna (6s är bland valens-nivåerna i bly) som påverkas av relativistiska effekter. Eftersom s motsvarar rörelsemängdsmomentet 0 har dessa elektroner en liten men dock sannolikhet att befinna sig nära atomkärnan. På grund av blys höga kärnladdning rör de sig då mycket snabbt, och relativistiska effekter blir stora. Ökningen i elektronens massa gör att orbitalen krymper och fördelningen hos elektronmolnet förskjuts in mot kärnan.

Sammanfattningsvis beror effekten på att relativistiska effekter för elektroner nära blykärnan påverkar valensnivåerna, vilka i sin tur bestämmer EMS för blybatteriet.

Jag tycker artikeln är intressant av flera skäl:

• Att man med grundläggande kvantmekanik kan beräkna makroskopiska storheter.
  
• Relativistiska effekter är inte alltid små och knappt mätbara korrektioner.
  
• Att man kan räkna på molekyler och joner.
  

Den relativistiska kontraktionen av 6s orbitalen förklarar även varför guld glimmar gult och varför guld är så lite reaktivt: What Gives Gold that Mellow Glow?. Se fråga [14685] för fler experimentella stöd för den speciella och allmänna relatiovitetsteorin.

Slutligen kan jag inte låta bli att citera den avslutande meningen i artikeln: Finally, we note that cars start due to relativity :-).
/Peter E 2011-01-27

Svar:
Fredrik! Blev lite filosofiskt det där :-). Se fråga [951] för en diskussion om determinism.

Ja, man kan antagligen se en yttring av av slumpmässighet som överlevt från Big Bang. Temperaturvariationerna i den kosmiska bakgrundsstrålningen (se fråga [705]) kan vara slumpmässiga s.k. vakuumfluktuationer (se fråga [11001]) från före den supersnabba expansionen (inflationen) 10^-38 sekunder (se fråga [17472]) efter Big Bang.

Nedanstående bild från rymdsonden Planck (länk 1) visar de senaste resultaten på "grynigheten" hos universum när det var 380000 år gammalt.

Den största enhet jag vet man visat att den uppför sig kvantmekaniskt slumpmässigt är fullerener genom en dubbelspalt, se fråga [1807].

Slumpmässighet och obestämbarhet förekommer inte bara i kvantmekaniska system. Det finns även många klassiska system som är kaotiska, se t.ex. fråga [17160] om planeternas rörelse i solsystemet.

Kvantmekanikens räknelagar fungerar oberoende av massa och energi. Det är bara att kvantmekaniska effekter blir mycket små med makroskopiska värden på massan.

Korrespondesprincipen innebär att kvantmekaniska effekter övergår i klassiska värden för höga kvanttal, se Correspondence_principle:

The rules of quantum mechanics are highly successful in describing microscopic objects, atoms and elementary particles. But macroscopic systems, like springs and capacitors, are accurately described by classical theories like classical mechanics and classical electrodynamics. If quantum mechanics were to be applicable to macroscopic objects, there must be some limit in which quantum mechanics reduces to classical mechanics. Bohr's correspondence principle demands that classical physics and quantum physics give the same answer when the systems become large.

/Peter E 2013-04-08

Svar:
Kvantmekaniska modeller för elektroner i en atom är mycket exakta, så man kan bestämma kvanttalen för olika tillstånd helt enkelt genom att jämföra experiment med teoretiska beräkningar. Experiment kan vara att observera elektromagnetiska övergångar mellan olika tillstånd eller att se hur atomer bildar kemiska bindningar.

För kärnfysik är din fråga mer relevant eftersom kärntillstånd är mer komplexa och det teoretiska modellerna mindre exakta. För kärntillstånd måste man alltså bestämma kvanttalen genom mätningar av sönderfall och reaktioner, se fråga [15482] och [19317].

De enda tillåtna atomära övergångarna är elektrisk dipol, dvs ändring av J (L+spinn) med högst en enhet och ändring av paritet. Det finns dessutom massor av andra urvalsregler som behandlas i läroböcker.

Se vidare Quantum_number och fråga [13733].
/Peter E 2014-07-21

Svar:
I fysik kan man inte besvara varför-frågor: naturen är helt enkelt så! I bästa fall kan man beskriva ett fysikaliskt fenomen på olika sätt eller se likheter med andra fenomen. I allmänhet använder man matematik för detta.

Kvantmekanik (se fråga [14754]) beskriver atomära och subatomära system. Kvantmekanikens förutsägelser vad gäller observerbara storheter utomordentligt exakta, men en djupare tolkning av teorin saknas fortfarande. Einstein kritiserade kvantmekaniken (trots att han var en av upphovsmännen) framför allt för att den är ofullständig. Speciellt att den endast kan förutsäga statistiska storheter: om en atom kan sönderfalla på två sätt kan man bara förutsäga sannolikheten till varje tillstånd - inte vilken väg en individuell atom skall sönderfalla.

Här är den välkände fysikern Richard Feynman när han försöker (och misslyckas) förklara magnetism:



Lika magnetiska poler stöter bort varandra och olika poler attraherar varandra. Ett sätt att uttrycka detta är att magneterna strävar efter minimal energi. Detta är likt (men lite annorlunda) att en boll du håller i handen har en potentiell energi som kan omvandlas till rörelseenergi om du släpper den. Men, som sagt, det är ingen förklaring, bara en alternativ beskrivning av vad som sker.

Se vidare fråga [14849], [15625] och [13877].
/Peter E 2015-01-12

Svar:
Virtuella partiklar kan inte observeras direkt - endast indirekt, se nedan. Det du beskriver kallas vakuumfluktuationer. Dessa möjliggöres av Heisenbergs obestämdhetsrelation:

Heisenbergs obestämdhetsrelation är en fundamental del av kvantmekaniken, se länk 1. Den medför en grundläggande obestämbarhet i samtidig mätning av position/rörelsemängd eller energi/tid:

Dx Dp = &8463;/2 = h/(4p) (1)

DE Dt = &8463;/2 = h/(4p) (2)

Där h är Plancks konstant 6,626·10&8722;34 J·s (Plancks_konstant)

Det är konstantens litenhet (h är mycket nära noll) som gör att obestämdheten bara märks för kvantmekaniska system.

Ja, obestämdhetsrelationen är mycket väl etablerad, så här hade Einstein fel! Det mest direkta beviset är att man kan mäta vidd (energiosäkerhet) och livstid (tidsosäkerhet) för atomära och nukleära system, och dessa uppfyller sambandet (2) ovan.

Man kan observera osäkerheten i energi för kortlivade tillstånd som uppvisar en ändligt vidd, se länk 2 och fråga [19253].

Existensen av vakuumfluktuationer bekräftas av Casimireffekten som är en makroskopisk effekt orsakad av kvantmekanik, se Casimireffekten.

Se även Vacuum_state.
/Peter E 2019-12-22