Svar:
Man får använda "Einsteins formel för addition av hastigheter" som
bygger på den speciella relativitetsteorin. Om vi kallar
hastigheterna v₁ och v₂, sÃ¥ blir det relativa hastigheten

(v₁+v₂)/(1+v₁v₂/c²).

För
ditt exempel v₁=v₂=0.6c blir resultatet 1.2c/(1+0.36)=0.88c.

Observera att om en av hastigheterna är c blir den relativa hastigheten

(c+v₂)/(1+cv₂/c²) = (c+v₂)/(1+v₂/c) = c(c+v₂)/(c+v₂) = c

alltså summan blir aldrig högre än c.
/Peter Ekström 1997-11-22

Svar:
Ljuset är en så kallad elektromagnetisk vågrörelse, men när ljuset
sänds ut och absorberas sker det i bestämda energipaket som kallas
fotoner.

Att ljusets hastighet alltid är konstant (i vakuum) är ett antagande
(så kallat postulat) man gör i den speciella relativitetsteorin.
Det kan därför inte förklaras inom ramen av relativitetsteorin.
Eftersom teorin tycks stämma väl med mätresultat, får vi helt
enkelt konstatera att naturen tycks vara så. Man kan också
undersöka saken med den nyare elektromagnetiska teorin
(kvantelektrodynamiken). Där beror ljusets hastighet på vissa intressanta egenskaper hos vakuum.

I många fall kan det vara svårt att säga vem som var först, men
inte i detta fallet. Det var en dansk astronom som hette Ole Römer.
Året var 1676 och platsen Paris. Han mätte tidpunkterna för
förmörkelser av jupitermånen Io, alltså tidpunkterna då Io
går in i och ut ur Jupiters skugga. Han fann en periodisk variation
med perioden lite mer än ett år. Avståndet till Jupiter varierar ju när
jorden går i sin bana runt solen. Han insåg att den periodiska variationen kunde förklaras om ljuset hade ändlig hastighet, och
han räknade ut ungefär rätt hastighet. Tänk att detta var över
300 år sedan. Ganska genialiskt, eller hur?

Slår man på ljus i Nationalencyklopedin blir man lätt
förvirrad. I texten beskrivs Ole Römers metod på ett sätt,
och i bildtexten på ett helt annat sätt. I själva verket är
det två oberoende metoder. Han använde sig av båda, och eftersom
de gav samma resultat, kunde han känna sig ganska säker på att han hade rätt.
Mera kan du läsa om det här: The Speed of Light.
/KS/lpe 1999-10-15

Svar:
Flykthastigheten är den hastighet som ett föremål som befinner sig på ett visst avstånd från en himlakropp måste ges för att det ska kunna åka ifrån himlakroppen utan att dras tillbaka av himlakroppens gravitation. Objekt med lägre hastighet faller tillbaka mot himlakroppen, medan objekt med högre hastighet - teoretiskt sett - är förmögna att fortsätta fram i det oändliga. (Flykthastighet)

Flykthastigheten är alltså den minsta hastighet som t.ex. en kanonkula måste haför att lämna jorden. Vi skjuter den rakt upp och bortser frånluftmotståndet. Den kinetiska energin (E) ska vara lika medarbetet (W) som krävs för att lyfta upp kanonkulan ut i rymden.

E = W

E = mv²/2

W = GmM/r

m = kanonkulans massa, v = kanonkulans hastighet, G = gravitationkonstanten,M = jordens massa, r = jordens radie

Uttrycket för W får man fram genom att notera att arbetet är lika medintegralen av kraften med avseende på vägen. Vi integrerar alltsåkraften från jordytan mot oändligheten. Kraften (f) ges av Newtonsgravitationsteori:

f = GmM/r²

Integralen (från r till oändligheten) blir

W = GMm/r

Ur detta får vi fram uttrycket för flykthastigheten (escape velocity) genom att sätta E = W:

v = (2GM/r)^1/2

Låt oss beräkna flykthastigheten för jorden och månen. Gravitationskonstanden G är 6.67410^-11 (Gravitational_constant). Övriga data från Planetary Fact Sheets:

Jordens massa: 5.973610²⁴ kg

Jordradien: 6.37110⁶ m

MÃ¥nens massa: 0.0734910²⁴ kg

MÃ¥nradien: 1.73710⁶ kg

Flykthastgheten för jorden blir då

v = (26.67410^-115.973610²⁴/6.37110⁶)^1/2 = 11187 m/s = 11.2 km/s

och för månen

v = (26.67410^-110.0734910²⁴/1.73710⁶)^1/2 = 2376 m/s = 2.4 km/s

Se vidare Escape_velocity.
/KS/lpe 1999-10-15

Svar:
För gaser är det ganska enkelt, ljudhastigheten beror på molekylernas hastighet, som i sin tur beror på temperaturen och molekylvikt, se fråga [12639]. Ljudhastigheten beror alltså inte på t.ex. densiteten som för fasta ämnen och vätskor (se nedan). Anledningen till att gaser och fasta ämnen/vätskor beter sig så olika är att i en gas är molekylerna helt fria - de påverkar inte varandra med krafter som i fasta ämnen/vätskor.

I väte och helium (lätta gaser) är ljudhastigheten 1300 m/s och
900 m/s repektive. Jämför luft, 330 m/s.

I vätskor är det inte så enkelt, där kommer krafterna mellan molekylerna in.
Liksom för gaser ökar ljudhastigheten i de flesta vätskor med temperaturen.
Vatten är ett undantag.

I fasta ämnen är det mera komplicerat, där talar man om två olika
ljudhastigheter, för longitunell våg och för transversell våg.

Longitudinell = svängningsrörelser i färdriktningen.

Transversell = svängningsrörelser vinkelrätt mot färdriktningen.

Den longitudinella vågen tar sig fram ungefär
dubbelt så snabbt som den transversella. Också här spelar bindningarna
mellan atomerna en stor roll. I en hård metall som beryllium är de två
hastigheterna 13000 m/s och 9000 m/s. I en mjuk metall som bly är de
2200 m/s och 700 m/s. Här kommer också in att beryllium är en lätt atom, medan blyatomen är tung.

För vissa fasta och flytande ämnen ges (se länk 1) ljudhastigheten av

v = sqrt(E/r)

där E är elasticitetsmodulen och r är densiteten. Uttrycket stämmer t.ex. mycket bra för vatten. För fasta ämnen tillkommer dessutom komplikationen att ljudhastigheten är olika i olika riktningar.

Hur kan man förstå ovanstående uttryck åtminstone kvantitativt? Föreställ dig en löst spänd gitarrsträng. Den svänger med en låg frekvens f. Eftersom v = fl där l är våglängden (som för grundtonen är 2L där L är strängens längd), så blir utbredningshastigheten låg. Om vi spänner strängen hårdare blir f högre, l är detsamma, så v blir högre. Spänningen i strängen motsvarar elasticitetsmodulen E.

På motsvarande sätt motsvarar densiteten r massan hos stängen. Det vill säga att hög densitet gör svängningen långsammare (tänk på de olika tjocka men lika långa gitarrsrängarna).

För elastiska material med låg densitet (t.ex. järn) är alltså ljudhastigheten hög, medan den för icke elastiska material med hög densitet (bly) är låg. Se länk 2.

Se vidare Sound och Speed_of_sound.
/KS/lpe 2000-01-14

Svar:
Man hade faktiskt mätt avståndet till solen på den tiden (1670-talet).
Känner man ett avstånd i solsytemet, känner man (genom Keplers
lagar) alla. Man hade mätt avståndet till Mars en gång när Mars
var nära jorden. Den metod man använde var parallaxmetoden, alltså
att Mars står på något olika ställen på himlen, sett från olika platser
på jorden. Det var ingen särskilt noggrann mätning, gissningsvis 20% fel.

Se även: The Speed of Light.
/KS 2001-02-03

Svar:
Ljudhastigheten i en gas är proportionell mot molekylernas medelhastighet.
Temperaturen är proportionell mot molekylernas medelenergi. Jämför vi nu en
tung (M) och en lätt (m) gas vid samma temperatur får vi:

mv²/2 = MV²/2

vilket ger

v/V = (M/m)^0.5

sätter vi in M =28 (kväve) och m = 4 (helium) får vi

v/V = (28/4)^0.5 = 7^0.5 = 2.65

Ljudhastigheten i helium vid rumstemperatur är alltså
340 2.65 = 900 m/s.

Ljudhastigheten i vätskor och fasta ämnen bestäms av andra faktorer.
/KS 2002-04-29

Svar:
En del av elektronerna i en metall är fria, det vill säga att de inte är
bundna till en särskild atom. De bildar en speciell typ av gas (Fermigas).
Antalet fria elektroner per atom kan vara 1 till 6. Det är denna Fermigas
som binder ihop atomerna i metallen. Alkalimetallerna (som natrium och kalium)
har en fri elektron och är löst bundna. De är mjuka och har låg smältpunkt.
Wolfram har 6 fria elektroner och är hårt bunden. Metallen är hård och har
mycket hög smältpunkt.

Det är denna elektrongas som bestämmer de metalliska egenskaperna som
metallglans och ledningsförmåga för elektricitet och värme. Typisk
hastighet för elektronerna i denna gas är 1000 km/s. Alltså, när man
talar om elektronernas "hastighet" i en ledare, menar man i de flesta
fall elektrongasens drifthastighet.

Detta som inledning till dina frågor.

1. Vad du behöver veta är att 1 A = 1 C/s och att elektronladdningen
är 1.6 10^-19 C. Dessutom behöver du veta elektrontätheten, n_e (fria elektroner/m³.
För att räkna ut denna behöver du veta antalet fria elektroner per
atom (1 - 6), densiteten, atomvikten och Avogadros tal
(6.022 10²³ mol^-1). Sedan är det bara att räkna pÃ¥.

2. Det primära är strömmen. Sedan kan man ju använda Ohms lag för att räkna om till spänning.

Ett uttryck för drifthastigheten v_d kan härledas från den på tiden t transporterade laddningen

Q = v_dtAn_eq

A är ledningens tvärsnittsyta och q är elektronens laddning 1.6010^-19 C. Dividerar man med t får man

Q/t = I = v_dAn_eq

och

v_d = I/(An_eq)

Om man sätter in rimliga värden får man det mycket låga värdet c:a 0.28 mm/s, se bilden nedan och Drift_velocity.

/KS/lpe 2002-02-06

Svar:
Det här är en fundamental och intressant fråga. Ljushastigheten (c) beror
på de elektriska och magnetiska egenskaperna hos vakuum. Vi har sambandet:

c² = 1/(e_o
m_o)

Alltså, ljushastigheten i kvadrat är lika med den inverterade produkten av
dielektricitetskonstanten för vakuum och den magnetiska permeabiliteten för
vakuum. Dessa konstanter har samma värde hur vi än rör oss. Alltså
är ljusets hastighet densamma, hur vi än rör oss. Detta är grunden
för den speciella relativitetsteorin.

I den klassiska mekaniken och i vardagstillvaron kan vi addera hastigheter.
Det kan man inte i relativitetsteorin.

Man kan fråga sig vad det är som ligger bakom dessa egenskaper hos vakuum.
Kvantelektrodynamiken ger en viss belysning av detta. Där beskrivs ljusets
utbredning som att energin producerar ett virtuellt elektron-positron par,
som snabbt förintar sig, och återutsänder ljuset. Det gör att ljuset inte
går oändligt snabbt, utan måste "sega" sig fram genom vakuum med futtiga
299792458 m/s.

Det var många långa ord i det här svaret!
/KS 2003-02-28

Svar:
Energin kommer från bindningenergin. En massa som faller ner i ett svart hål binds av gravitationsfältet på samma sätt som en elektron binds i en atom. Elektronen skickar ut ljus när den övergår till lägre tillstånd. Det kan även infallande materia i ett svart hål göra genom kollisioner och uppvärmning, men en massa som rör sig snabbt kan även sända ut gravitationsvågor.

Den energi som sänds ut som elektromagnetisk strålning eller gravitationsvågor är förlorad, så massan av det kompakta objektet minskar med detta belopp. Låt oss titta lite närmare på energiförhållandena.

Klassiskt (Newton) är flykthastigheten från en massa M med radien R är lika med ljushastigheten c när

R = R_S = 2GM/c²

(flykthastigheten är v = (2GM/r)^1/2, se fråga [3782]).
Gravitationell bindningsenergi för en massa m vid ytan (kallas händelsehorisonten eller Schwarzschild-radien) av ett svart hål blir då

GMm/R_S = mc²/2

vilket är exakt halva vilomassan mc². Om man i stället använder den allmänna relativitetsteorin (vilket vi självklart mÃ¥ste göra) blir uttrycket för händelsehorisonten oförändrad men den gravitationella bindningsenergin blir lika med vilomassan mc².

Hur skall vi tolka detta? Om vi lÃ¥ter en massa m falla ner i ett svart hÃ¥l kan vi frigöra maximalt energin mc²/2. Resten kommer att försvinna som rödförskjutning. Ett svart hÃ¥l är alltsÃ¥ en mycket effektiv energikälla - fusion frigör t.ex. bara nÃ¥gon procent av vilomassan. Detta är orsaken till att man tror att de mest energetiska objekten vi känner till, t.ex. kvasarer, är svarta hÃ¥l. Om energin frigöres när massan är vid händelsehorisonten blir rödskiftet oändligt, och ingen energi slipper ut. Om vi emellertid lÃ¥ter energin strÃ¥la ut när massan är pÃ¥ väg ner, sÃ¥ kan en del av energin slippa ut - maximalt mc²/2.

Länk 1 innehåller information från en expert på området. Länk 2 är en användbar formelsamling för svarta hål. Se även Black_hole och Supermassive_black_hole.
/Peter E 2005-12-16

Svar:
Hej Linnéa! Nej, så enkelt är det inte! Om källan rör sig bort från observatören blir frekvensen hälften av frekvensen hos källan.

Dopplereffekt är ett fysikaliskt fenomen, som innebär en förändring av frekvensen (svängningstalet) hos en signal, till exempel ljud eller ljus, beroende på om källan närmar sig eller avlägsnar sig i förhållande till observatören. Först med att beskriva dopplereffekten var Christian Doppler 1842. Det allra lättast iakttagbara exemplet på dopplereffekten är ljudsirenerna på ambulanser eller polisbilar, som tycks minska i frekvens då de passerar observatören. (Dopplereffekt)

Låt oss titta på hur man får fram detta. Figuren nedan från länk 1 kan vara till hjälp för förståelsen. Beteckningar:

Primade variabler (med ') - observatörens värden

Oprimade variabler - värden hos källan

f - frekvensen

v - ljudhastigheten

v_o - observatörens hastighet i förhållande till luften

v_s - källans (eng source) hastighet i förhållande till luften

T = 1/f - perioden för svängningen (tiden för en svängning)

l - svängningens våglängd

För alla vågrörelser gäller

lf = l/T = v (hastighet är sträcka dividerat med tid)

Om källan rör sig bort från observatören kommer våglängden att förlängas med ett belopp som är hur långt källan hinner på tiden T:

l' = l + v_sT = v/f + v_s/f

men l' = v/f ' så vi får om vi inverterar ovanstående ekvation:

f ' = f(v/(v+v_s)) (1 rörlig källa, från observatören)

Om källan rör sig mot observatören får vi med samma resonemang:

f ' = f(v/(v-v_s)) (2 rörlig källa, mot observatören)

Tillämpar vi (1) på ditt problem får vi

f ' = f(340/(340+340)) = f/2

Som vi ser av (1) så går f ' mot 0 när v_s blir mycket stort. Från (2) kan vi se att f ' går mot oändligheten när v_s närmar sig ljudhastigheten v.

Vad händer då om observatören rör sig och källan står stilla? I detta fallet är resonemanget lite enklare eftersom våglängden inte ändras. För att från våglängden räkna ut frekvensen måste vi ta hänsyn att den observerade ljudhastigheten blir v+v_o om observatören rör sig mot källan. Vi får då

T' = l'/(v+v_o) =
(v/f)/(v+v_o)
= 1/f '

Om vi inverterar ekvationen får vi

f ' = f(v+v_o)/v (3 rörlig observatör, mot källan)

Om observatören rör sig från källan

f ' = f(v-v_o)/v (4 rörlig observatör, från källan)

Vi ser från 4 att frekvensen går mot noll när v_o går mot v. För v_o>v "kör observatören ifrån" ljudet.

Länk 1 innehåller även en praktisk dopplerskiftskalkylator. Se även Doppler_effect.

/Peter E 2006-11-08