Svar:
Flykthastigheten är den hastighet som ett föremål som befinner sig på ett visst avstånd från en himlakropp måste ges för att det ska kunna åka ifrån himlakroppen utan att dras tillbaka av himlakroppens gravitation. Objekt med lägre hastighet faller tillbaka mot himlakroppen, medan objekt med högre hastighet - teoretiskt sett - är förmögna att fortsätta fram i det oändliga. (Flykthastighet)

Flykthastigheten är alltså den minsta hastighet som t.ex. en kanonkula måste haför att lämna jorden. Vi skjuter den rakt upp och bortser frånluftmotståndet. Den kinetiska energin (E) ska vara lika medarbetet (W) som krävs för att lyfta upp kanonkulan ut i rymden.

E = W

E = mv²/2

W = GmM/r

m = kanonkulans massa, v = kanonkulans hastighet, G = gravitationkonstanten,M = jordens massa, r = jordens radie

Uttrycket för W får man fram genom att notera att arbetet är lika medintegralen av kraften med avseende på vägen. Vi integrerar alltsåkraften från jordytan mot oändligheten. Kraften (f) ges av Newtonsgravitationsteori:

f = GmM/r²

Integralen (från r till oändligheten) blir

W = GMm/r

Ur detta får vi fram uttrycket för flykthastigheten (escape velocity) genom att sätta E = W:

v = (2GM/r)^1/2

Låt oss beräkna flykthastigheten för jorden och månen. Gravitationskonstanden G är 6.67410^-11 (Gravitational_constant). Övriga data från Planetary Fact Sheets:

Jordens massa: 5.973610²⁴ kg

Jordradien: 6.37110⁶ m

Månens massa: 0.0734910²⁴ kg

Månradien: 1.73710⁶ kg

Flykthastgheten för jorden blir då

v = (26.67410^-115.973610²⁴/6.37110⁶)^1/2 = 11187 m/s = 11.2 km/s

och för månen

v = (26.67410^-110.0734910²⁴/1.73710⁶)^1/2 = 2376 m/s = 2.4 km/s

Se vidare Escape_velocity.
/KS/lpe 1999-10-15

Svar:
Energin kommer från bindningenergin. En massa som faller ner i ett svart hål binds av gravitationsfältet på samma sätt som en elektron binds i en atom. Elektronen skickar ut ljus när den övergår till lägre tillstånd. Det kan även infallande materia i ett svart hål göra genom kollisioner och uppvärmning, men en massa som rör sig snabbt kan även sända ut gravitationsvågor.

Den energi som sänds ut som elektromagnetisk strålning eller gravitationsvågor är förlorad, så massan av det kompakta objektet minskar med detta belopp. Låt oss titta lite närmare på energiförhållandena.

Klassiskt (Newton) är flykthastigheten från en massa M med radien R är lika med ljushastigheten c när

R = R_S = 2GM/c²

(flykthastigheten är v = (2GM/r)^1/2, se fråga [3782]).
Gravitationell bindningsenergi för en massa m vid ytan (kallas händelsehorisonten eller Schwarzschild-radien) av ett svart hål blir då

GMm/R_S = mc²/2

vilket är exakt halva vilomassan mc². Om man i stället använder den allmänna relativitetsteorin (vilket vi självklart måste göra) blir uttrycket för händelsehorisonten oförändrad men den gravitationella bindningsenergin blir lika med vilomassan mc².

Hur skall vi tolka detta? Om vi låter en massa m falla ner i ett svart hål kan vi frigöra maximalt energin mc²/2. Resten kommer att försvinna som rödförskjutning. Ett svart hål är alltså en mycket effektiv energikälla - fusion frigör t.ex. bara någon procent av vilomassan. Detta är orsaken till att man tror att de mest energetiska objekten vi känner till, t.ex. kvasarer, är svarta hål. Om energin frigöres när massan är vid händelsehorisonten blir rödskiftet oändligt, och ingen energi slipper ut. Om vi emellertid låter energin stråla ut när massan är på väg ner, så kan en del av energin slippa ut - maximalt mc²/2.

Länk 1 innehåller information från en expert på området. Länk 2 är en användbar formelsamling för svarta hål. Se även Black_hole och Supermassive_black_hole.
/Peter E 2005-12-16

Svar:
Det är inte fel att räkna ut flykthastigheten från den potentiella energin vid jordytan (-mgR). Problemet är bara var man får uttrycket ifrån. Om det kommer från det vanliga uttrycket för potentiell energi nära jordytan mgh så är det fel. Det är bara en tillfällighet att uttrycken är så lika. Uttrycket mgh gäller bara om kraften är konstant, dvs nära marken. Den korrekta härledningen av uttrycket kräver att man integrerar, se nedan.

Låt oss först räkna ut flykthastigheten från ovanstående uttryck. Massan m på jordytan är alltså bunden med energin
(-mgR). För att massan skall vara fri från från jordens gravitation måste vi tillföra kinetisk energi med samma belopp. Massan har då potentiella energin noll, och är fri. Vi får

mv²/2 = mgR

dvs

v = sqrt(2gR) = sqrt(29.826.3710^6) = 11200 m/s = 11.2 km/s

Eftersom kraften på massan m varierar när vi tar den från jordytan till oändligheten, så kan man inte komma ifrån integration. Kraften mellan massorna m och M är

F = GmM/r²

där r är avståndet och G är gravitationskonstanten. Om vi integrerar kraften får vi potentialen

U = -GmM/r

Det gäller alltså att

U = -Fr

Detta beror på att avståndsberoendet hos kraften är som 1/r². Vid jordytan r=R gäller alltså

U = -FR = -mgR

där vi eliminerat gravitationskonstanten G genom att i stället använda tyngdaccelerationen g (tyngdkraften vid jordytan på massan m är ju mg).
/Peter E 2008-03-23