Svar:
Man kan säga att Newtons gravitationsteori är en mycket god approximation
av Einsteins teori, så länge vi inte har extremt starka gravitationsfält,
eller kräver extremt hög noggrannhet. Det är inte bara i skolorna som
man räknar med Newtons teori. Det gör också rymdfolket som skickar sonder
till Mars. Det här är ett bra exempel på att man inte i fysiken ska tala
om "rätt" eller "fel" teori, utan snarare om modeller, som är mer eller
mindre användbara i olika sammanhang. Sedan är det så, att Einsteins
gravitationsteori (allmäna relativitetsteorin) är mycket svårare att
räkna med, så den använder man bara när det verkligen är nödvändigt.

Rymdfolket måste ta hänsyn till den speciella relativitetsteorin,
men det är ju inte någon gravitationsteori. För extremt precisionskänsliga tillämpningar, t.ex. GPS, måste man ta hänsin även till den generella gravitationsteorin, se fråga 14685 nedan.
/KS/lpe 1999-05-18

Svar:
Låt oss först skissa bakgrunden. Från Tycho Brahes mycket exakta mätningar av planeten Mars' rörelse kunde Johannes Kepler få fram tre lagar för planeternas rörelser. Isaac Newton kunde senare förklara dessa rörelser med hjälp av en lag, gravitationslagen, och nyutvecklad matematik (differentialkalkyl).

Keplers första lag: Planetbanorna är ellipser med solen i den ena brännpunkten. (Se nedanstående figur.)

Keplers andra lag: Varje planet rör sig längs sin elliptiska bana med en sådan hastighet att en linje från planeten till solen ("radius vector") alltid sveper över en lika stor area på samma tid. (Se nedanstående figur.) Planeten rör sig alltså snabbare när den är nära solen än när den är längre ifrån.

Från sin gravitationslag kunde Newton härleda följande variant av Keplers tredje lag:



P är (sideriska) omloppstiden

a är halva storaxeln av banan

G är gravitationskonstanten

m₁ och m₂ är objektens massor

Gravitationskonstanten (Gravitational_constant) bestämdes först av Henry Cavendish år 1798 med hjälp av tunga metallkulor och en torsionsvåg. Det aktuella värdet är

G = 6.673 10^-11 m³s^-2kg^-1

Eftersom gravitationskonstanten är svår att mäta är den en av de sämst kända naturkonstanterna.

Om vi sätter in värdet på G och förenklar lite får vi

(m₁+m₂) =
(4p²/G) a³/P² =
5.916 10¹¹ a³/P²

Detta uttryck kan tillämpas på vilket system av två objekt som helst, till exempel Mars och Mars' månar Phobos och Deimos eller t.o.m på ett svart hål i vintergatans centrum (se fråga 6228). Låt oss först tillämpa det på systemet jorden-månen:

(m₁+m₂) = 5.916 10¹¹ (384400000)³/(27.32246060)² = 6.03 10²⁴ kg.

Observera att vi mÃ¥ste använda SI enheter genomgÃ¥ende, dvs meter och sekunder. FrÃ¥n läget av jorden-mÃ¥nens gemensamma tyngdpunkt kan man bestämma m₁/m₂ till 81.3, sÃ¥ jordens massa blir 5.96 10²⁴ kg.

Tillämpat på systemet jorden-solen får vi

(m₁+m₂) = 5.916 10¹¹ (149600000000)³/(365.24246060)² = 1.99 10³⁰ kg.

Eftersom jordens massa kan försummas blir detta solens massa.

För planeter som saknar månar får man mäta deras påverkan av andra planeter. På senare tid har man ju skickat rymdsonder till många planeter, och då kan man bestämma planetens massa från sondens acceleration i närheten av planeten.

Observera att vi även kan bestämma jordens massa med hjälp av tyngdaccererationen 9.81 m/s² och Newtons gravitationslag:

F = ma = (mM G)/r² dvs

M = a r²/G = 9.81 (6.38 10⁶)²/(6.673 10^-11) = 5.98 10²⁴ kg.

Det var denna överensstämmelse som övertygade Newton (och andra) att det var samma kraft som påverkar varje massa på jorden (äpplet :-)) som den kraft som styr solsystemet.

Se även: Kepler's_laws_of_planetary_motion (avancerad), Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion (lite lättare) och Newton's Law of Gravity.

Formelsamling i fysik är en lättillgänglig sammanställning av fysikaliska formler och konstanter. Fysikalisk_konstant och den engelska versionen Physical_constant ger värden på fysikaliska konstanter.

/Peter E 2004-01-24

Svar:
Mja, de roterar inte med konstant vinkelhastighet utan med i stort sett konstant hastighet, se nedanstående figur. Figuren visar Vintergatans rotation, men andra spiralgalaxer uppvisar liknande rotation.

Rotationshastigheten beror på fördelningen av massa i galaxen. Om densiteten är konstant i hela galaxen ut till en radie R kan man visa att rotationshastigheten på avståndet r ges av

v = sqrt(GM/R³)r      (1)

vilket innebär att vinkelhastigheten v/r är konstant. G är gravitationskonstanten och M är galaxens totala massa.

Om däremot den mesta massan är samlad i galaxens centrum (i vad som på engelska heter 'central bulge' eller i ett svart hål i centrum), så skulle hastigheten variera som

v = sqrt(GM/r)      (2)

(BÃ¥da ovanstÃ¥ende uttryck kan härledas genom att sätta gravitationskraften i Newtons gravitationslag GMm/r² lika med centripetalkraften mv²/r.)

Det observerade beroendet är alltså varken (1) (v ökar proportionellt med r) eller (2) (v minskar som 1/sqrt(r)) utan något mellanting där v är nästan konstant. Om massfördelningen vore densamma som fördelningen av ljusstyrkan så skulle fördelningen fortfarande mest likna (2). Detta betyder att det finns någon massa som inte sänder ut ljus. Detta är vad som kallas "mörk materia" och är det de flesta astronomer ser som den mest sannolika förklaringen, speciellt som det även finns andra indikationer på mörk materia.

Se fråga [20776] för rotationsriktning och varför spiralerna inte försvinner pga differentiell rotation.

Se vidare mörk materia, Galaxy_rotation_curve, Dark_matter och nedanstående länk.

/Peter E 2007-10-02

Svar:
Det är inte fel att räkna ut flykthastigheten från den potentiella energin vid jordytan (-mgR). Problemet är bara var man får uttrycket ifrån. Om det kommer från det vanliga uttrycket för potentiell energi nära jordytan mgh så är det fel. Det är bara en tillfällighet att uttrycken är så lika. Uttrycket mgh gäller bara om kraften är konstant, dvs nära marken. Den korrekta härledningen av uttrycket kräver att man integrerar, se nedan.

Låt oss först räkna ut flykthastigheten från ovanstående uttryck. Massan m på jordytan är alltså bunden med energin
(-mgR). För att massan skall vara fri från från jordens gravitation måste vi tillföra kinetisk energi med samma belopp. Massan har då potentiella energin noll, och är fri. Vi får

mv²/2 = mgR

dvs

v = sqrt(2gR) = sqrt(29.826.3710^6) = 11200 m/s = 11.2 km/s

Eftersom kraften på massan m varierar när vi tar den från jordytan till oändligheten, så kan man inte komma ifrån integration. Kraften mellan massorna m och M är

F = GmM/r²

där r är avståndet och G är gravitationskonstanten. Om vi integrerar kraften får vi potentialen

U = -GmM/r

Det gäller alltså att

U = -Fr

Detta beror pÃ¥ att avstÃ¥ndsberoendet hos kraften är som 1/r². Vid jordytan r=R gäller alltsÃ¥

U = -FR = -mgR

där vi eliminerat gravitationskonstanten G genom att i stället använda tyngdaccelerationen g (tyngdkraften vid jordytan på massan m är ju mg).
/Peter E 2008-03-23

Svar:
Man "väger" en stjärna genom att följa rörelsen hos ett objekt (normalt en annan stjärna i ett dubbelstjärnesystem) och tillämpa den moderna varianten av Keplers tredje lag, se fråga [12644].

Genom att studera spektra från sjärnor kan man lära sig hur olika stjärnor ser ut. Då kan man bestämma massor från avståndet och ljusstyrkan med hjälp av mass-luminositetsrelationen, se mass-luminositetsrelation.

Se fråga [6228] för en beskrivning hur man på samma sätt väger ett svart hål.

Som ofta i vetenskapen sker framstegen i små steg som bygger på tidigare kunskap. I fallet stjärnors massa kan man se en tydlig progression:

Tycho-Brahe (Tycho_Brahe) gjorde i slutet av 1500-talet exakta mätningar av planeten Mars rörelse.

Dessa data användes av Johannes Kepler (Johannes_Kepler) för att komma fram till tre lagar (början av 1600-talet, fråga [12644]).

Isaac Newton (Isaac_Newton) generaliserade Keplers tredje lag i termer av en generell gravitationslag (slutet av 1600-talet, fråga [12834]).

Henry Cavendish (Henry_Cavendish) bestämde ett värde på gravitationskonstanten G i Newtons gravitationslag (slutet av 1700-talet).

Sedan dröjde det till slutet av 1800-talet innan man hade tillräckligt bra teleskop och spektrografer för att kunna bestämma stjärnmassor. Det tog alltså nära 300 år att komma fram till hur man kunde bestämma massan hos stjärnor och andra astronomiska objekt.
/Peter E 2012-12-12