Svar:
Gravitationen (av latin gravis = tung) eller tyngdkraften är en av universums fyra fundamentala krafter, se fråga [3716]. Det är den attraherande kraft som massor utsätter varandra för, och ger upphov till det som vi kallar massans tyngd.

Gravitationskraften på massan m utanför ett klot med massan M ges av
F=GmM/r², där r är avståndet till masscentrum. Gravitationen innanför klotets yta beror av massfördelningen, eftersom endast den del av klotets massa som ligger innanför r ger bidrag till attraktionen. Om jordens densitet är konstant (vilket den definitivt
inte är), så ges massan innanför r av M'=Mr³/R³,
där R är jordradien. Gravitationskraften under jordytan (r mindre än R) blir alltså: F=GmMr/R³.

Gravitationskraften vid jordens medelpunkt (r=0) blir alltså 0. Om man kunde borra ett hål rakt genom jorden (omöjligt eftersom det är mycket varmt i jordens centrum och materien är flytande) skulle man kunna falla rakt igenom jorden och komma ut (vända vid jordytan) på andra sidan - bortsett från luftmotståndet. Om vi bromsar fallet skulle vi kunna stanna i centrum och sväva i ett tyngdlöst tillstånd.

Figuren nedan visar den uppmätta densiteten i jordens inre (från seismiska vågor, se Structure_of_the_Earth) och den beräknade tyngdaccelerationen. För de inre delarna kan man se att tyngdaccelerationen är approximativt proportionell mot r, medan den för de yttre delarna är närmast konstant.

Se även fråga [19792].

/Peter Ekström 2002-10-10

Svar:
Låt oss först skissa bakgrunden. Från Tycho Brahes mycket exakta mätningar av planeten Mars' rörelse kunde Johannes Kepler få fram tre lagar för planeternas rörelser. Isaac Newton kunde senare förklara dessa rörelser med hjälp av en lag, gravitationslagen, och nyutvecklad matematik (differentialkalkyl).

Keplers första lag: Planetbanorna är ellipser med solen i den ena brännpunkten. (Se nedanstående figur.)

Keplers andra lag: Varje planet rör sig längs sin elliptiska bana med en sådan hastighet att en linje från planeten till solen ("radius vector") alltid sveper över en lika stor area på samma tid. (Se nedanstående figur.) Planeten rör sig alltså snabbare när den är nära solen än när den är längre ifrån.

Från sin gravitationslag kunde Newton härleda följande variant av Keplers tredje lag:



P är (sideriska) omloppstiden

a är halva storaxeln av banan

G är gravitationskonstanten

m₁ och m₂ är objektens massor

Gravitationskonstanten (Gravitational_constant) bestämdes först av Henry Cavendish år 1798 med hjälp av tunga metallkulor och en torsionsvåg. Det aktuella värdet är

G = 6.673 10^-11 m³s^-2kg^-1

Eftersom gravitationskonstanten är svår att mäta är den en av de sämst kända naturkonstanterna.

Om vi sätter in värdet på G och förenklar lite får vi

(m₁+m₂) =
(4p²/G) a³/P² =
5.916 10¹¹ a³/P²

Detta uttryck kan tillämpas på vilket system av två objekt som helst, till exempel Mars och Mars' månar Phobos och Deimos eller t.o.m på ett svart hål i vintergatans centrum (se fråga 6228). Låt oss först tillämpa det på systemet jorden-månen:

(m₁+m₂) = 5.916 10¹¹ (384400000)³/(27.32246060)² = 6.03 10²⁴ kg.

Observera att vi måste använda SI enheter genomgående, dvs meter och sekunder. Från läget av jorden-månens gemensamma tyngdpunkt kan man bestämma m₁/m₂ till 81.3, så jordens massa blir 5.96 10²⁴ kg.

Tillämpat på systemet jorden-solen får vi

(m₁+m₂) = 5.916 10¹¹ (149600000000)³/(365.24246060)² = 1.99 10³⁰ kg.

Eftersom jordens massa kan försummas blir detta solens massa.

För planeter som saknar månar får man mäta deras påverkan av andra planeter. På senare tid har man ju skickat rymdsonder till många planeter, och då kan man bestämma planetens massa från sondens acceleration i närheten av planeten.

Observera att vi även kan bestämma jordens massa med hjälp av tyngdaccererationen 9.81 m/s² och Newtons gravitationslag:

F = ma = (mM G)/r² dvs

M = a r²/G = 9.81 (6.38 10⁶)²/(6.673 10^-11) = 5.98 10²⁴ kg.

Det var denna överensstämmelse som övertygade Newton (och andra) att det var samma kraft som påverkar varje massa på jorden (äpplet :-)) som den kraft som styr solsystemet.

Se även: Kepler's_laws_of_planetary_motion (avancerad), Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion (lite lättare) och Newton's Law of Gravity.

Formelsamling i fysik är en lättillgänglig sammanställning av fysikaliska formler och konstanter. Fysikalisk_konstant och den engelska versionen Physical_constant ger värden på fysikaliska konstanter.

/Peter E 2004-01-24

Svar:
Intressant fråga, så jag testade det genom ett litet experiment i vad som på engelska kallas "kitchen sink physics".

En möjlig förklaring är att vattnet faller fritt när det lämnar kranen. När hastigheten ökar måste därför strålens diameter minska för att vattnets volym skall bevaras. Vi använder formlerna för fallrörelse med konstant acceleration.

I figuren nedan syns att vattenstrålen definitivt bli tunnare allteftersom den rör sig nedåt.

Låt oss börja med några allmänna uttryck för likformig acceleration (konstant acceleration, t.ex. i tyngdkraftfältet), se AccelerationUniform_acceleration. Man brukar använda följande beteckningar för storheterna:

v sluthastighet (vid tiden t, m/s)

u begynnelsehastighet (vid tiden 0, m/s)

s sträcka (m)

a acceleration (m/s²)

t tid (s)

Acceleration definieras som (ändring i hastighet)/(tiden) dvs

a = (v-u)/t

Genom omgruppering får vi

v = u + at (1)

Medelhastigheten ges av

(u+v)/2 = s/t

vilket kan omgrupperas till

s = [(u + v)/2] t (2)

Vi använder (1) för att eliminera v från ekvation (2)

s = ut + at²/2 (3)

Slutligen använder vi (1) för att eliminera t i ekvation (2)

s = [(v+u)/2][(v-u)/a] = (v² - u²)/2a

vilket ger uttrycket

v² = u² + 2as (4)

VI kommer att använda ekvation (4) för att testa "fritt fall"-hypotesen.

Vi behöver först bestämma vattenflödet F. Vi gör detta genom att mäta tiden det tar att fylla ett enliters kärl. Det tog 90 sekunder, så flödet blir:

F = 1 [l]/90 [s] = 110^-3 [m³]/90 [s] = 1.1110^-5 m³/s

Genom att mäta diametern hos den grå adaptern (33 mm) kunde en kalibrering för mm/pixel på bilden åstadkommas (originalet är 4 gånger större än nedanstående bild). Därefter kunde alla avstånd mätas och omräknas till mm.

I tabellen nedan finns alla uppmätta och uträknade data: avstånd från startpunkten, strålens radie, hastigheten, fritt fall hastighet och differensen i hastighet.

____________________________________________________





D (mm) r (mm) v (m/s) vB (m/s) Differens (%)

 0 3.21 0.34 50 1.77 1.12 1.05 -6%

 94 1.47 1.62 1.45 -10%

____________________________________________________

Bevarande av flödet ger följande samband:

Av = p r²v = F

dvs

v = F/(p r²)

A är tvärsnittsytan, v är hastigheten och r är strålens radie.

För positionen D = 0 får vi t.ex.

v = 1.1110^-5/(p(3.2110^-3)²) = 0.34 m/s

Med hjälp av ekvation (4) ovan kan vi få ett beräknat värde på hastigheten om hypotesen fritt fall är korrekt:

v_B = sqrt(0.34² + 2g5010^-3) = sqrt(0.116 + 0.981) = 1.05 m/s

och

v_B = sqrt(1.12² + 2g4410^-3) = sqrt(1.25 + 0.86) = 1.45 m/s

Avvikelsen mellan de uppmätta värdena på hastigheterna och de som beräknats för fritt fall är -6% och -10%. Det är nog lite för stora avvikelser för att helt kunna förklaras som tillfälliga mätfel. Det tycks alltså komma in andra effekter, t.ex. ytspänning och laminär strömning, dvs att hastigheten inte är konstant över tvärsnittsytan, se Laminar_flow. Den svenska Wikipedia artikeln Laminär_strömning är ganska intetsägande, men innehåller ett kul skämt :-) (bildtexten till bilden med fiskar).

I länk 1 beskrivs ett liknande experiment. Man använder sig av Bernoullis ekvation, som emellertid ger exakt samma resultat som i ekvation (4). Länk 2 behandlar acceleration och fritt fall (v-t diagram).

____________________________________________________________________

För att undvika lokala effekter från kranen valdes nollpunkten en bit ner. Nedre punkten valdes lite ovanför 100 mm nivån eftersom bilden av strålen blir ganska otydlig.

/Peter E 2012-01-19

Svar:
Var det en kuggfråga? Det tar väldigt lång tid. Verktyget kommer att fortsätta i nästan exakt samma omloppsbana som rymdstationen eftersom den relativa hastigheten är mycket låg.

Verktyget skulle bli en del av det rymdskrot, se Rymdskrot, som finns speciellt i låga banor runt jorden. Rymdskrotet är en fara för satelliter som går i en avvikande bana eftersom kollisionshastigheten då kan bli flera km/s.

Verktyget kommer antagligen att efter en lång tid kollidera med månen, eftersom det är osannolikt att månen och verktyget har exakt samma omloppstid.

Om man föreställer sig att verktyget kastas i bakåtriktningen så att banrörelsen upphörde så måste detta ske med hastigheten

2pR/P = 2p38410⁶/(27.3360024) = 1023 m/s = 1.023 km/s.

Verktyget skulle då falla rakt ner på jorden. Hur lång tid skulle detta ta? Man kan räkna ut detta genom integration, men i artikeln Free-fall_time finns en härledning där man utnyttjar Keplers tredje lag, se fråga [12644].

Falltiden (till jordens centrum -- ännu ett orealistiskt antagande) blir då

t_ff = pR^3/2/(2(2G(M+m))^1/2) =

p(38410⁶)^3/2/(8(6.6710^-11)(5.9710²⁴))^1/2 =

419000 s = 419000/(360024) dygn = 4.8 dygn.

Vi har bortsett från verktygets massa m i förhållande till jordens massa M.

(Samma uttryck fås även från formeln i Free_fallInverse-square_law_gravitational_field)

Resultatet är rimligt med tanke på att det tog Apollo-kapslarna ungefär 3 dygn att färdas tillbaka till jorden från månen.

Astronomiska sifferuppgifter är från Planetary Fact Sheets.
/Peter E 2016-01-12

Svar:
Jennie!

Wikipedia säger:

Gränshastighet (även kallat jämviktshastighet) är inom fluidmekanik den hastighet ett föremål förflyttar sig med när dess hastighet är konstant på grund av bromskraften som utövas av luft, vatten eller någon annan fluid genom vilket den färdas.

Ett fritt fallande objekt når sin gränshastighet när den nedåtriktade gravitationskraften (F_g = mg) är lika med den uppåtriktade bromskraften (F_d ungefär &8776; Av²). Detta gör att resultaten av de båda krafterna blir noll och accelerationen därmed också är noll.

När ett objekt accelererar (vanligtvis nedåt på grund av gravitationen) ökar bromskraften på objektet vilket orsakar en minskning av accelerationen. Vid en viss hastighet kommer bromskraften bli lika med objektets tyngd (mg). När detta inträffar kommer objektet att sluta att accelerera och fortsätter att falla med en konstant hastighet, gränshastigheten. (gränshastighet)

Ett fallande föremål påverkas i huvudsak av två krafter: (1) den nedåtriktade gravitationskraften och (2) den uppåtriktade luftmotståndskraften. Den första är konstant medan den andra ökar med fallhastigheten. När de båda krafterna är lika, upphör accelerationen och föremålet har uppnått gränshastigheten.

Två olika föremål kommer sannolikt att få olika gränshastighet och kommer knappast att landa samtidigt. Ett lätt föremål (fjäder) behöver inte falla lika långt som ett tungt föremål (bowlingklot) innan föremålet når gränshastigheten eftersom hastighetsförändringen för det senare är större.

Se även fråga [21320] (krafter som verkar på ett fallande föremål)
och fråga [15385] (beräkning av luftmotståndet och beräkning av gränshastigheten, se uttryck i figuren nedan).

/Peter E 2021-04-26