Svar:
Erik! Det största problemet med att få fram slumptal är att få fram det första. När man väl fått det använder man det för att med avancerade algoritmer generera fler (egentligen pseudoslumptal). Detta är inte enkelt, och de vanliga algorimerna som finns i programmeringsspråk är ofta inte perfekta, men tillräckligt bra för de flesta ändamål.

Det första slumptalet kan t.ex. genereras från datorns klocka. Eftersom tidpunkten du startar programmet är slumpmässig (åtminstone första gången) kan man använda t.ex. millisekund-värdena som ett slumptal.

Bra slumptalsgeneratorer är alltså inte lätta att göra, så ämnet är en hel vetenskap.

Monte Carlo-metoder

Slumptal används en hel del i fysiken i s.k. Monte Carlo (MC) program (kallas så för att dom liksom casinot innehåller slumpmässighet). När man vill simulera komplicerade processer är det ofta bra att använda MC program som t.ex. följer en partikels kollisioner med materia, och varje enskild kollision slumpas med vikter som bestäms av fysikaliska lagar. De fundamentala fysikaliska lagarna (t.ex. sannolikheten för att en partikel skall spridas i en viss vinkel) är ofta välkända, men problemet kan vara alltför komplicerat för att kunna lösas analytiskt. Man simulerar därför verkligheten med en fysikalisk modell.

Se vidare slumptal och Monte Carlo-metoder i Nationalencyklopedin.
/Peter E 2003-12-17

Svar:
Susanna! Låt oss först beräkna accelerationen a = dv/dt. Hastigheten v ges av din ekvation (1). Derivatan av v med avseende på tiden t blir då

a = dv/dt = 10-5t

Anledningen till att accelerationen skrivs så här är ju att allteftersom löparens hastighet ökar, så måste accelerationen minska¹. Vi kan se att accelerationen enligt ovanstående modell är 0 vid t=2s. Då har löparen alltså uppnått sin sluthastighet. Om vi sätter in t=2s i (1) får vi slut(max)hastigheten 10 m/s.

Definitionen på hastighet är v=ds/dt. Hastigheten är alltså tidsderivatan vid en viss tidpunkt av den tillryggalagda sträckan. Se det så här: på den lilla tiden dt rör sig löparen sträckan ds. Hastighet är sträcka per tidsenhet alltså ds/dt.

Om vi våldför oss lite på matematiken kan vi se att ds=vdt. Hastigheten v ges ju som funktion av t av (1). Vi kan då beräkna v for en massa värden från 0 till 2s och multiplicera med dt. Dessa ds kan vi sedan summera för att få den sträcka löparen tillryggalagt.

Matematiken bakom ovanstående kallas Infinitesimalkalkyl och utvecklades av Newton och Leibniz på 1600-talet (se Calculus och fråga 16084 nedan). Formellt är ds/dt något som kallas derivata. För att beräkna s från funktionen ds/dt måste vi integrera. Det finns massor med regler för derivering och integration (som man får lära sig i matematiken), men det viktiga i detta sammanhang är att integration är omvändningen till derivering. Så om vi integrerar ds/dt med avseende på tiden så får vi sträckan s.

Bilden nedan från Wikimedia Commons visar att integralen helt enkelt är ytan S under en funktion f(x). Integralen är alltså en yta, och räknas ut som en oändlig summa av pyttesmala rektanglar.

Hur får man då fram funktionen (2) från (1)? Ja, man måste kunna lite integreringsregler. Oftast är det emellertid enklare att derivera än att integrera, så låt oss kontrollera om (1) är derivatan av (2):

(d/dt)(5t²-2.5t³/3+C) =
10t-2.5t²

vilket alltså stämmer bra.

Det är naturligtvis måttligt intressant att beräkna hur en hundrameterslöpare spinger, men exemplet vill visa hur man i fysiken arbetar med matematiska modeller som sedan kan jämföras med verkligheten. Här är till sist en tabell med värden på a, v och s beräknade med ovanstående uttryck och med antagandet att löparen från 2 sekunder och framåt har den konstanta hastigheten 10 m/s.

 t a v s

-------------------------

 0 10 0 0

 1 5 7.5 4.2

 2 0 10 13.3 3 0 10 23.3

 4 0 10 33.3

 5 0 10 43.3

 6 0 10 53.3 7 0 10 63.3

 8 0 10 73.3

 9 0 10 83.3

 10 0 10 93.3

 11 0 10 103.3

Vi ser alltså att löparen springer 100m på mellan 10 och 11s, dvs god svensk klass men ingen Usain Bolt :-)!

Hoppas detta hjälpte dig något!

¹ Till skillnad från en raket som accelererar snabbare och snabbare. Skillnaden beror på att för raketen är den största delen av massan bränsle, och detta försvinner ju efter hand som raketen accelererar.

/Peter E 2009-04-17

Svar:
Axel! Detta är mycket svåra men aktuella frågor. Eftersom Stephen Hawking och Leonard Mlodinow just kommit ut med en bok, The Grand Design (länk 1), kan det vara på sin plats att sammanfatta var strängteorin står i dag. Nedanstående är till en del baserat på en artikel i Sunday Times vetenskapsbilaga Eureka från september 2010.

Strängteorin innebär att man beskriver elementarpartiklar som små endimensionella strängar. Dessa strängar vibrerar med olika frekvenser för att bilda olika partiklar. Det visade sig att det finns minst fem olika sträng-teorier med 10 rum/tid-dimensioner. Så småningom kom man fram till att alla var ekvivalenta med en teori med 11 dimensioner: M-teorin.

M-teorin

Enligt vissa teoretiker är M-teorin den ultimata TOE (Theory of Everything). Hawking ser M-teorin som ett underliggande karta som håller ihop olika teorier som beskriver alla naturlagar.

Det tycks som om ingen vet vad M-et i namnet kommer ifrån. Förutom Maybe (kanske) har jag sett Master (huvud-), Miracle (mirakulös) och Mystery (mysterium). Det tycks som om M-teorin är allt detta :-)!

I M-teorin har man alltså 11 rum/tid-dimensioner. Anledningen till att vi bara ser tre rumsdimensioner är att de övriga är kollapsade (eller kanske mer exakt, de har inte expanderat som de tre vi ser).

I M-teorin är man inte begränsad till endimensionella strängar, utan man kan ha vibrerande objekt (supersträngar) i 2 dimensioner (membran), 3 dimensioner (blobbar) och upp till 9 dimensioner.

Två fundamentala problem i dagens fysik är den spöklika obestämdheten hos kvantmekaniken (en atom kan befinna sig i flera tillstånd samtidigt) och det faktum att naturlagarna tycks vara finjusterade så att universum kunde utvecklas till ett universum som ger plats för liv - även om det bara finns på ett ställe, se diskussionen nedan.

M-teorin tillåter kanske 10⁵⁰⁰ olika universa med varierande naturlagar. Teorin tillåter, med hjälp av gravitationen, att universa skapas ur ingenting.

Universums utveckling och Guds existens

Mycket av diskussionen om Hawkings bok har handlat om behovet av en högre makt. Om man studerar universums utveckling från Big Bang till vad vi observerar i dag, visar det sig att många av naturlagarna verkar avstämda för att producera en värld där liv är möjligt. Några exempel (bland många) på denna finjustering av naturlagarna är

1. Om den starka kärnkraften bara varit lite starkare så hade ²He varit stabilt och stjärnor hade inte kunnat bildas.
   
2. Om det inte funnits ett tillstånd i ¹²C som precis passar till energin hos 3 a-partiklar, så hade ämnen tyngre än kol (som behövs för liv) inte kunnat bildas.
   
3. Endast ett universum med 3 utvecklade rumsdimensioner tillåter stabila planetbanor och följaktligen liv, åtminstone som vi känner det.
   

Ovanstående egenskaper kan förklaras på ett av tre sätt

1. Det finns en högre makt som bestämt att det skall vara så (den klassiska religiösa skapelseteorin).
   
2. Det är en ytterst osannolik slump.
   
3. Det finns massor av universa med olika egenskaper. Ett av dessa är vårt med de nödvändiga egenskaperna. De övriga "misslyckade" universa finns, men de innehåller inget intelligent liv som kan fundera på varför deras värld ser ut som den gör.
   

Hawking förespråkar punkt 3: Gud i punkt 1 behövs inte.

Några kommentarer

Eftersom M-teorin ännu inte kan knytas till observationer kan man ha olika åsikter om teorin:

Den är "Kejsarens nya kläder" eller pseudovetenskap av noll och intet värde. Eller Hawkings optimistiska åsikt att det kan vara den ultimata teorin som förklarar allting: "Philosophy is dead and there is no need for the God hypothesis: modern cosmology has all the answers".

Jag tror att de flesta av dagens fysiker anser att det är en lovande början och låter teoretikerna hållas ett tag till så de får en chans att komma upp med några förutsägelser som kan testas med experiment. Bilden nedan från ett föredrag av Lawrence M Krauss (se fråga [18978]) är en mindre positiv synpunkt.

Jag har en kanske naiv uppfattning att en modell eller teori skall vara behjälplig för att "förstå" ett fysikaliskt fenomen. För mig uppfyller M-teorin inte detta kriterium med sina 10⁵⁰⁰ universa. Men för all del, redan kvantmekaniken är obegriplig.

Vad gäller din sista fråga, så har jag inte sett uttrycket, men jag tror din tolkning är korrekt: helt enkelt att kraften är proportionell mot massan, F=mg.

/Peter E 2010-09-13

Svar:
Hej Sofia! Mycket bra men svåra frågor du ställer!

Naturvetenskap

I naturvetenskap har man för det första några grundregler som kallas vetenskaplig metod, se fråga [13406]. I fråga [14237] diskuteras god vetenskaplig metod och dess motsats, pseudovetenskap.

Vad gäller fysikaliska modeller så är de förenklade bilder av verkligheten som hjälper oss att förstå världen omkring oss. Modeller är inte detsamma som verkligheten, men en bra modell skall beskriva observationer så bra som möjligt.

Några exempel på fysikaliska modeller

Grunden för alla fysikaliska modeller är observationer och experiment. För kosmologi kan vi t.ex. observera den kosmiska bakgrundsstrålningen, mäta heliumhalten i stjärnor med spektroskopi, se att universum expanderar med dopplereffekten och mäta ljusstyrkan hos supernovor. Allt detta tillsammans skall passa in i en acceptabel modell för universums utveckling och struktur.

För jordens inre har man skaffat sig kunskap genom att studera sesmiska vågor vid t.ex. jordbävningar, se fråga [1052]. Dessutom kan man ju analysera material som kommer ut vid vulkanutbrott.

Bohrmodellen, fråga [13733], beskriver atomen mycket förenklat. Den är en bra utgångspunkt men ger intrycket att elektroner rör sig i fixa banor.

Vätskedroppsmodellen är en enkel modell av atomkärnan som trots sin enkelhet förklarar förvånansvärt många egenskaper hos atomkärnor, se Vätskedroppsmodellen.

För att försöka förstå problemet med global uppvärmning använder man enkla och mycket sofistikerade klimatmodeller, se fråga [16846].

För gravitation använder man fortfarande oftast Newtons beskrivning även om Einsteins allmänna relativitetsteori är mer grundläggande och mer korrekt i vissa fall. Det är inte ovanligt att man använder olika modeller för samma fenomen, aningen för att räkningarna blir enklare eller för att man bara är intresserad av en viss aspekt hos fenomenet.

Objektivitet

Objektivt är något som inte beror på observatören, och detta är något man strävar efter i naturvetenskap. Om du står på marken och släpper en boll, så kan nog alla vara överens om att bollen faller till marken. Om du däremot ställer frågan "vilken färg har bollen?", så kan du tänkas få olika svar eftersom hur man uppfattar färger är något subjektivt (motsatsen till objektivt).

Hundraprocentig objektivitet är mycket svårt att åstadkomma eftersom man redan när man bestämmer hur ett experiment eller en observation skall utföras, så har man infört ett mått av subjektivitet.

Religion

Ja, det finns många exempel på naturvetare som trott på Gud. Einstein är ett exempel.

Stephen Hawking är däremot ett exempel på en forskare som anser att det inte finns något behov av en gud, se fråga [17334]. Carl Sagan hade en ganska avvisande attityd till religion.

Många naturvetare föreställer sig inte en personlig gud utan något mer abstrakt, kanske t.o.m. att man uppfattar naturlagarna som ett gudomligt väsen.

Se även Vetenskapsteori, länk 1 och FysikTeori_och_experiment.
/Peter E 2011-11-13

Svar:
Hej Petri! Jag håller i stort med om kunskapsmålen och tycker det låter som att du uppfattat dem mycket bra.

För det första är jag allergisk mot begreppet förklara när det gäller fysikens lagar. Förklara är för mig svar på frågan varför?. I djupare mening vet vi inte varför naturlagarna är som de är, se fråga [12126].

Fysik är en empirisk vetenskap som i grunden bygger på observationer och experiment, se fråga [14232]. Fysiken använder matematik som ett verktyg, men fysik är inte matematik. Ofta utgår man från ett antagande och detta antagande kan sedan få stöd genom direkta eller indirekta observationer. Einstein antog t.ex. att ljushasigheten i vakuum är konstant när han utvecklade sin speciella relativitetsteori, och denna har visat sig stämma mycket väl.

Från Tycho Brahes mycket exakta mätningar av planeten Mars' rörelse (slutet av 1500-talet) kunde Johannes Kepler (i början av 1600-talet) få fram tre lagar för planeternas rörelser. Samtidigt använde Gallileo Gallilei det nyuppfunna teleskopet för att göra astronomiska observationer. Han studerade även, både teoretiskt och experimentellt, kroppars rörelse.

Isaac Newton kunde senare (andra hälften av 1600-talet) "förklara" planeternas rörelser med hjälp av en lag, den universella gravitationslagen och nyutvecklad matematik (differentialkalkyl).

Den ovanstående utgör det centrala i utvecklingen av den moderna vetenskapliga metod som används i naturvetenskapen, se fråga [14237].

En annan viktig aspekt på fysik är att fysikaliska lagar inte är huggna i sten, utan de kan modifieras allteftersom vi gör bättre observationer.

Lagarna kan emellertid inte ändras hur fritt som helst, utan de måste alltid kunna reproducera alla befintliga mätresultat. Einsteins allmänna relativitetsteori beskriver gravitationen på ett utmärkt sätt, men den är mycket olik Newtons gravitationsteori. Det betyder inte att Newton hade fel, bara att det fanns begränsningar i giltigheten. Man använder t.ex. forfarande Newtons teori för att beräkna banor för rymdsonder.

I fysik använder man sig ofta av förenklade modeller som beskriver ett fysikaliskt fenomen med begränsade förutsättningar, se fråga [18296]. I kärnfysik betraktar man t.ex. ibland atomkärnan som en vätskedroppe och ibland som nukleoner som rör sig fritt i en potential (skalmodell). Modellerna är egentligen helt inkompatibla, men de är ändå av värde eftersom de båda "förklarar" olika egenskaper hos atomkärnor.

Och nu äntligen till din fråga:

Begreppet "förklarar" i texten ovan får man tolka så att man kan beskriva ett fenomen på en djupare nivå. Låt oss ta solens rörelse. Den dagliga rörelsen från öster till väster "förklaras" av att jorden roterar kring sin axel.

Solen rör sig även lite från väster till öster i förhållande till de avlägsna stjärnorna. Detta "förklaras" av att jorden rör sig ett varv runt solen på ett år. För att få ett A måste vi även kunna beskriva att den årliga rörelsen beskrivs av Newtons gravitationslag.

Den "wobblande" rörelsen du talar om uppkommer eftersom två kroppar rör sig i elliptiska banor kring den gemensamma tyngdpunkten. Om mass-skillnaden mellan kropparna är stor ligger den gemensamma tyngdpunkten nära den tyngre kroppens centrum. Detta betyder att den tyngre kroppen rör sig mycket lite.

Ett annat exempel är solsystemets uppbyggnad. Vi kan observera att planeterna alla rör sig åt samma håll och i ett plan. Detta kan "förklaras" genom modellen att solsystemet bildats genom att ett gasmoln dras samman av gravitationen. Bevarande av rörelsemängdsmomentet (se fråga [12527]) ger då upphov till en roterande skiva av gas och stoft. Denna bildar sedan planeterna i ett plan och rörelse åt samma håll.

I fråga [16776] beskrivs solsystemets rörelse i vintergatan och universum.
/Peter E 2016-02-24