Ursprunglig fråga:
Hur kan man beräkna massan för någon planet i vårt solsystem. För att beräkna massan för t.ex. Mars måste man ju känna till banhastigheten och avståndet till solen. men även solens massa måste ju vara känd, samt den gemensamma tyngdpunkten. Dom två första variablerna kan man säkert mäta sig till. Men hur gör man sedan?
/Lars B, Pauli, Malmö

Svar:
Låt oss först skissa bakgrunden. Från Tycho Brahes mycket exakta mätningar av planeten Mars' rörelse kunde Johannes Kepler få fram tre lagar för planeternas rörelser. Isaac Newton kunde senare förklara dessa rörelser med hjälp av en lag, gravitationslagen, och nyutvecklad matematik (differentialkalkyl).

Keplers första lag: Planetbanorna är ellipser med solen i den ena brännpunkten. (Se nedanstående figur.)

Keplers andra lag: Varje planet rör sig längs sin elliptiska bana med en sådan hastighet att en linje från planeten till solen ("radius vector") alltid sveper över en lika stor area på samma tid. (Se nedanstående figur.) Planeten rör sig alltså snabbare när den är nära solen än när den är längre ifrån.

Från sin gravitationslag kunde Newton härleda följande variant av Keplers tredje lag:

P är (sideriska) omloppstiden
a är halva storaxeln av banan
G är gravitationskonstanten
m₁ och m₂ är objektens massor

Gravitationskonstanten (Gravitational_constant ) bestämdes först av Henry Cavendish år 1798 med hjälp av tunga metallkulor och en torsionsvåg. Det aktuella värdet är

G = 6.673 10^-11 m³s^-2kg^-1

Eftersom gravitationskonstanten är svår att mäta är den en av de sämst kända naturkonstanterna.

Om vi sätter in värdet på G och förenklar lite får vi

(m₁+m₂) = (4*p²/G) a³/P² = 5.916 10¹¹ a³/P²

Detta uttryck kan tillämpas på vilket system av två objekt som helst, till exempel Mars och Mars' månar Phobos och Deimos eller t.o.m på ett svart hål i vintergatans centrum (se fråga 6228). Låt oss först tillämpa det på systemet jorden-månen:

(m₁+m₂) = 5.916 10¹¹ (384400000)³/(27.32*24*60*60)² = 6.03 10²⁴ kg.

Observera att vi måste använda SI enheter genomgående, dvs meter och sekunder. Från läget av jorden-månens gemensamma tyngdpunkt kan man bestämma m₁/m₂ till 81.3, så jordens massa blir 5.96 10²⁴ kg.

Tillämpat på systemet jorden-solen får vi

(m₁+m₂) = 5.916 10¹¹ (149600000000)³/(365.24*24*60*60)² = 1.99 10³⁰ kg.

Eftersom jordens massa kan försummas blir detta solens massa.

För planeter som saknar månar får man mäta deras påverkan av andra planeter. På senare tid har man ju skickat rymdsonder till många planeter, och då kan man bestämma planetens massa från sondens acceleration i närheten av planeten.

Observera att vi även kan bestämma jordens massa med hjälp av tyngdaccererationen 9.81 m/s² och Newtons gravitationslag:

F = ma = (mM G)/r² dvs

M = a r²/G = 9.81 (6.38 10⁶)²/(6.673 10^-11) = 5.98 10²⁴ kg.

Det var denna överensstämmelse som övertygade Newton (och andra) att det var samma kraft som påverkar varje massa på jorden (äpplet ) som den kraft som styr solsystemet.

Se även: Kepler's_laws_of_planetary_motion (avancerad), Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion (lite lättare) och Newton's Law of Gravity .

Formelsamling i fysik är en lättillgänglig sammanställning av fysikaliska formler och konstanter. Fysikalisk_konstant och den engelska versionen Physical_constant ger värden på fysikaliska konstanter.

Se även fråga 6228 och fråga 7808

Nyckelord: massbestämning [2]; Keplers lagar [14]; Newtons gravitationslag [12]; tyngdaccelerationen [16]; fallrörelse [31]; *verktyg [15];