Svar:
De som var först med noggranna studier av den plana pendeln var
italienaren Galileo Galilei (1564 - 1642) och holländaren
Christiaan Huygens (1629 - 1695).
/KS 2001-01-30

Svar:
Du menar nog konisk pendel, se nedanstående figur. Vi har en vikt med massan m upphängd i en tråd med längd l. Vikten sätts i rotation så att tråden sveper ut en kon, därav namnet. För att räkna ut rotationsperioden gäller det bara att balansera krafterna.

Två krafter verkar på vikten: spänningen i tråden t och tyngdkraften mg. Dessa två krafter är inte i balans, utan det återstår en horisontell komponent av t (F_c ) riktad mot rotationscentrum. Detta är centripetalkraften som får vikten att beskriva en cirkelrörelse. Den vertikala komponenten av t skall ta ut tyngdkraften mg. Om omloppshastigheten är v är centripetalkraften

F_c = mv²/r (1)

Perioden T, som vi söker blir

T = (cirkelns omkrets)/hastigheten = 2pr/v (2)

Från jämvikt och geometri får vi:

tcos(a) = mg (3)

tsin(a) = mv²/r (4)

r = lsin(a) (5)

Eliminering av t genom division (4)/(3) ger

tan(b) = v²/r²(r/g) (6)

Insättning av värdet på v/r från (6) i (2) och användning av (5) ger slutligen efter lite förenkling:

T = 2pSqrt[(cos(a)l)/g]

Se även pendel, plan.

2005-04-07

Svar:
Till skillnad från den koniska pendeln (se fråga [13934]) är hastigheten för den plana pendeln inte konstant utan varierar harmoniskt (sinusfunktion). Detta betyder att man måste lösa en andra ordningens differentialekvation och dessutom approximera sin(vinkel) med vinkeln i radianer. Härledningen finns under länk 1. 2p kommer från förvandling av vinkelfrekvens till period, så det har att göra med cirkelns omkrets eller snarare att ett helt varv 360^o är 2p radianer.

Så tyvärr finns det för detta fallet ingen enkel härledning, men låt oss ändå titta lite på härledningen i länk 1 (bilden nedan).

Massan m förekommer både i återställande kraften och i uttrycket för accelerationen. Det betyder att vi kan förkorta bort m. Pendelrörelsen är alltså oberoende av massan (liksom fallrörelsen) men den beror av tyngdaccelerationen g.

L kommer in genom sambandet mellan vinkel och läge

x = qL

Lösningen längst ner i figuren är alltså vad man kallar en harmonisk svängningsrörelse. Om perioden är T får vi

(en period hos sinusfunktionen) = 2p = sqrt(g/L)T

dvs

T = 2psqrt[L/g]

I länk 2 finns en kalkylator som gör beräkningar lättare.

/Peter E 2005-05-24

Svar:
Johanna! Karusellen ser ut som den på bilden nedan från Chair-O-Planes.

För att sitsarna med (eller utan) passagerare skall röra sig i en cirkelbana erfordras en kraft riktad mot centrum. Denna s.k. centripetalkraft ges av

F_r = mv²/r

Om rotationshastigheten v ökar ökar radien r och vinkeln a mellan vertikalplanet och kättingen minskar för att centripetalkraften skall öka, se figuren nedan.

Det är två krafter som tillsammans orsakar nettokraften F_r (de två steckade krafterna i figuren):

1 Spänningen i upphängningskedjan F_F riktad snett uppåt i kedjans riktning.

2 Tyngdkraften F_G = mg riktad rakt nedåt.

Från triangeln med F_F och F_r får man

tan a = F_r/F_G

dvs

F_r = tanaF_G = tanamg

Men enligt ovan var ju

F_r = mv²/r

dvs

mv²/r = tanamg

eller

v² = rtanag

Vi ser för det första att sambandet inte beror av massan m.

Om avståndet från rotationscentrum till upphängningspunken är r₀ blir radien

r = r₀ + lsina

där l är kedjans längd. Vi får alltså till slut sambandet

v² = (r₀ + lsina)tanag

Vi ser att om hastigheten v ökar så måste även vinkeln a öka. Ekvationen ovan är svår att lösa exakt, men i appleten under länk 2 kan man variera parametrarna och se vad som händer.

Se Slagkraft - Naturvetenskap på Liseberg för mer om Kättingflygaren och andra Liseberg-attraktioner.

Se även Kättingflygare.

/Peter E 2009-03-09

Svar:
Hej Tore! Hoppsan! Men det viktiga är inte att proppa i eleverna fakta utan att visa hur man tar reda på hur det är.

Jag kände inte till "gunga tvilling", men som så ofta finns informationen på nätet, länk 1. Det är tydligen helt enkelt att två gungor pendlar i takt. Frågan är om detta fungerar under olika förutsättningar.

Fysikaliskt är en gunga en plan pendel, se fråga [15927]. Se fråga [14065] för härledning av perioden.

Perioden beror alltså bara på g (som förhoppningsvis är konstant 9.81 m/s²) och pendelns längd L. Perioden beror alltså inte på massan. För en gunga som inte är helt en ideal (matematisk) pendel får man approximera pendellängden med avståndet från upphängningspunkten till masscentrum (tyngdpunkten), se fråga [13477].

Så vad säger teorin om dina frågor?

För en tom gunga bör det fungera någotsånär. Masscentrum för den tomma gungan bör vara nära mitten av plankan (eller däcket) man sitter på. Masscentrum med en person ligger lite högre, men inte så att perioden påverkas mycket.

Om personen står upp hamnar masscentrum betydligt högre, dvs L blir mindre och därmed perioden mindre.

Genom att vara aktiv på gungan kan man korrigera små skillnader i period. Så svaret för tom gunga är ja, men om man står upp nja. Det beror helt enkelt hur bra man kan kompensera för gungornas egenfrekvens (enligt formeln: den naturliga perioden, dvs om man sitter still).

Poängen med uppgiften? Tja, en tillämpning av plan pendel och ett tillfälle att träna mätningar. Och framför att diskutera varför resultatet inte alltid blir vad man väntar sig. :-)
/Peter E 2013-12-13

Svar:
Hej Anna! Det är lättare att balansera en lång pinne än en kort eftersom en lång pinne "faller" långsammare än en kort eftersom tröghetsmomentet är större för en lång pinne. Med en kort pinne hinner man helt enkelt inte med att reagera och att korrigera läget så att pinnen inte faller. Detta är analogt med det faktum att en lång pendel svänger långsammare än en kort, se fråga [14065].

Den effektiva längden på en pinne bestäms av tyngdpunktens (masscentrums) läge. En pinne med en tyngd i toppen har en större effektiv längd än en pinne utan tyngd vilket gör den lättare att balansera.

Här är en demonstration av effekten. Detaljerad förklaring finns i länk 1. Var försiktig om du vill utföra försöket så du inte förstör golvet (eller dina tår) om du misslyckas med balansakten!



Stången som en lindansare använder ger samma effekt som en längre pinne ovan: den ökar tröghetsmomentet för systemet och därmed tidskonstanten. Stången kan dessutom användas för att korrigera avvikelser hos masscentrum från lodlinjen genom linan, se Tightrope_walkingBiomechanics.
/Peter E 2015-02-18

Svar:
Alisya!

Såvitt jag förstår är du ute efter att bestämma tyngdaccelerationen g genom att mäta svängningstiden för en plan pendel.

Tyngdacceleration är inom klassisk mekanik den acceleration som är resultatet av kombinationen av gravitationsaccelerationen och den centrifugalacceleration som härrör från en kropps rotation, till exempel jordens rotation. Tyngdaccelerationen på jordytan, också kallad jordaccelerationen, varierar med latitud, mellan cirka 9,78 m/s² vid ekvatorn och 9,83 m/s² vid polerna.
(Tyngdacceleration)

Den formel du ger är korrekt men för en fysikalisk pendel. Problemet med denna är att uttrycket för perioden innehåller flera parametrar som är svåra att uppskatta, speciellt tröghetsmomentet I. Se PendelFysikalisk_pendel.

Man kan i stället använda sig av en enklare modell, en s.k. Matematisk pendel, se PendelMatematisk_pendel. Svängningstiden för en sådan härleds i fråga [14065]:

T = 2p&8730;(l/g)

Som du ser innehåller formeln T, l och g. Genom att mäta l och motsvarande T kan du alltså räkna ut ett värde på g.

För att få ett tillförlitligt svar bör du mäta tiden för flera pendelcykler (l), t.ex. 10-20 stycken. Du kan även göra mätningen med flera pendellängder (l) och ta medelvärdet på resultaten.

Se även fråga [4287].
/Peter E 2021-05-04