Vikterna är av järn och väger 1 kg. Vi kan bortse från ballongens/luftens vikt.
/Anton B, Solna gymnasium, Solna

Svar:
För att lösa uppgiften behöver vi tillämpa

Arkimedes princip, se fråga 13509 ,

Pascals lag, se fråga 14772 och

Allmänna gaslagen, se fråga 16511 .

Låt oss kalla ballongens volym för V₁₀ dm³ (på 10 m djup) och V₀ dm³ (vid vattenytan). Viktens volym kallar vi V.

Vi kan räkna ut V från järnets densitet 7.87 g/cm³

V = 1000/7.87 = 127 cm³ = 0.127 dm³

Övertrycket på 10 m djup ges av Pascals lag

p = rgh = 1000*10*10 = 10⁵ Pa

Trycket vid botten är då

p₁₀ = p₀ + p = 2*10₅ Pa

eftersom lufttrycket vid ytan p₀ = 10⁵ Pa.

Från gaslagen pV = konst (temperaturen antas konstant) får vi

p₀*V₀ = p₁₀*V₁₀

10⁵*V₀ = 2*10⁵*V₁₀

dvs

V₀ = 2V₁₀

Trycket på 10 m djup är alltså två gånger så högt som vid ytan. Volymen vid ytan blir då dubbla volymen vid botten.

Den nedåtriktade kraften (tyngdkraften) är m*g. Lyftkraften enligt Arkimedes princip är

-volymen*(vätskans densitet)*g

där minustecknet indikerar att lyftkrften verkar uppåt. Nettokraften vid botten blir

mg - (V+V₁₀)*r*g > 0   (netto positiv)

Om vi förkortar bort g, sätter m = 1 kg och vattnets densitet till 1 kg/dm³ får vi

1 - (V+V₁₀) > 0   [1]

På samma sätt får vi nettokraften vid ytan

1 - (V+V₀) < 0   (netto negativ)

eller

1 - V-2V₁₀ < 0   [2]

Olikhet (1) ger

1 - 0.127 = 0.873 > V₁₀   [3]

Olikhet (2) ger

1 - 0.127 = 0.873 < 2V₁₀

eller

0.437 < V₁₀   [4]

Vi kan kombinera [3] och [4] till

0.437 < V₁₀ < 0.873

eller

0.874 < V₀ < 1.746

Alla volymer är i dm³.

Nyckelord: Arkimedes princip [32]; Pascals lag [5]; gaslagen, allmänna [24];