Min fråga: Hur stor effekt P [W] krävs för att låta en satellit (modellerad som en punktformad partikel) röra sig i en perfekt cirkulär bana med radien r [m] om satellitens massa är m [kg] och dess tangenthastighet v [m/s] är konstant?

Viktiga villkor:
1. INGEN GRAVITATION antas verka på satelliten.
2. INGEN TRÅD fästs mellan satelliten och mittpunkten på rotationsbanan.
3. Massminskningen till följd av bränslekonsumption är försumbar.
4. Effekten som tillförs verkar under ideala förhållanden, dvs inga energiförluster sker pga friktion eller valet av motor.
5. Relativistiska effekter kan försummas, dvs v << c.

Många som svarat på frågan påstår att P = 0 enligt definitionen av mekaniskt arbete. Tänker man efter så inser man att detta inte kan stämma. Energi krävs för att ändra en linjär bana för en partikel i rymden och en cirkulär bana är ett exempel på en sådan förändring. Under avsaknad av gravitation (eller någon tråd som är fäst mellan satelliten och mittpunkten på rotationsbanan) så kommer en massa aldrig att rotera i en cirkulär bana utan att det krävs någon energi.

Jag har ställt frågan till många personer med kunskap inom mekanik, men ingen har lyckats formulera ett korrekt svar. Jag vore mycket tacksam om ni kan hjälpa mig att lösa detta problem och ge en härledning till hur man löser problemet.

Vid första anblick kan den här frågan tyckas vara av litet värde. Men det faktum att energi krävs har en fundamental inverkan på giltigheten för dagens teorier i fysik. Därför är frågan mycket intressant.

Vänliga hälsningar, Oscar Carlsson
/Oscar C, Rudbecksgymnasiet, Örebro

Svar:
Det finns många cirkelrörelser där det inte utförs något arbete, se fråga 13327 och länk 1. Anledningen är som du säger att den verkande kraften är vinkelrätt mot rörelseriktningen. Exempel är en laddad partikel i ett homogent magnetfält, en vikt i ett snöre och en satellit i en cirkulär bana kring jorden. Så länge kraften är vinkelrätt mot rörelseriktningen ändras inte beloppet av hastigheten, så inget arbete utförs.

Problemet med ditt exempel är antagande nr 3. Detta antagande är i strid med en naturlag - att rörelsemängden för ett system är konstant (se fråga 14476 och 15642 ).

För att satelliten skall kunna röra sig i en cirkulär bana med konstant hastighet v (och därmed med oförändrad rörelseenergi) måste den skicka ut en lagom massa med lagom hastighet i en riktning motsatt rörelsecentrum (t.ex. med en raketmotor). Detta för att totala rörelsemängden hos systemet skall bevaras. Eftersom du använder dig av ett felaktigt antagande kan du få vilket resultat som helst. Kraften på den utåtgående massan måste vara riktad utåt, alltså i rörelseriktningen, så det är klart att systemet utför ett arbete som är större än noll!

Man kan resonera så här: den utkastade massan har en hastighetsvektor med beloppet v (samma som satelliten) adderat med en hastighetsvektor riktad utåt. Resultanten av dessa vektorer måste alltså vara större än v. Detta betyder att den utkastade massan har fått ökad rörelseenergi, dvs ett arbete har utförts.

I exemplen ovan bevaras rörelsemängden utan problem. För satelliten i jordens gravitationsfält är jorden mycket massivare än satelliten. För vikten i ett snöre finns en fixpunkt i centrum. För den laddade partikeln hålls magnetfältet fast av källan, t.ex. en spole med järnkärna.
/Peter E

Nyckelord: arbete [24];

1 http://physics.stackexchange.com/questions/90947/work-in-circular-motions