Svar:
Hej Josefin/Albert!

Förluster i batteriet brukar parametriseras genom att batteriet får en inre resistans R_i, se Inre_resistans och fråga [17476].

Eftersom den sista termen i ditt uttryck ovan är mycket liten (0.008) kan vi bortse från denna. Dessutom måste ju den utvecklade effekten vid strömmen noll vara noll (kurvan måste gå genom origo). Ditt uttryck reduceras då till

U = -aI² + bI (1)

där a och b är fria parametrar.

Om vi tillämpar Kirchhoffs spänningslag på kretsen
(se Kirchhoffs_lagarKirchhoffs_spänningslag) får vi

EMS = R_iI + RI

där EMS är batterispänningen utan belastning (se fråga [17476]).

Utvecklade effekten i tråden är

P = UI = RII = (EMS-R_iI)I = EMSI - R_iI²

dvs

P = -R_iI² + EMSI (2)

Om vi jämför (1) och (2) kan vi identifiera

a med inre resistansen R_i och

b med batterispänningen utan belastning EMS.

Vi får alltså R_i=0.376 &937; och EMS=1.304 V.

För maximal effekt kan vi derivera uttrycket (2):

P´ = -R_iI2 + EMS

För maximum skall P´ vara noll:

I_max = EMS/(2R_i) = 1.304/(20.376) = 1.73 A (3)

Denna ström ger alltså maximal effekt i det yttre motståndet. Är detta ett bra val för t.ex. en glödlampa? Enligt (3) blir det yttre motståndet R lika med inre resistansen R_i. Detta betyder att det utvecklas lika mycket effekt i batteriet som i glödlampan (batteriet blir varmt), vilket är slöseri. Man bör alltså välja ett betydligt högre värde på det yttre motståndet.

Verkningsgraden = h = (nyttig effekt)/(total effekt) =
RI²/(RI²+R_iI²) =

R/(R+R_i) =
1/(1+R_i/R)

Verkningsgraden ökar alltså med ökande R (minskande I). Vid maximal ström är alltså verkningsgraden 0.5, dvs 50%. Det lämpligaste värdet på R är en kompromiss mellan hög ström och verkningsgrad. R=10R_i ger t.ex. en verkningsgrad av 1/(1+0.1)= 91%. Idealet är naturligtvis att minska inre resistansen, men denna bestäms av hur batteriet är konstruerat.

/Peter E 2017-05-11