Svar:
En geostationär satellit är en satellit som rör sig i en cirkulär omloppsbana i jordens ekvatorialplan, på ett sådant avstånd att en satellit i denna bana roterar runt jorden i samma riktning och med samma omloppstid som jordens rotationstid. Se Geostationary_orbit och bilden nedan. Kommunikationssatelliter och vädersatelliter är normalt geostationära.

Centripetalkraften för en cirkelbana med radien r är mv²/r och gravitationskrafen är mMG/r², där G är gravitationskonstanten. Om vi sätter dessa lika får vi

(vinkelhastigheten)² = w² = v²/r² = GM/r³ (1)

Men vinkelhastigheten ges av

w = 2p/P

där P är perioden (omloppstiden).

Jordens rotation bestämmer den nödvändiga vinkelhastigheten, vilket i sin tur bestämmer r. Höjden över jordytan blir då r-R, där R är jordradien.

Vi får eftersom jordens rotationstid i förhållande till stjärnorna är 23 timmar 56 minuter och 4 sekunder:

r³ = GMP²/(4p²) = 6.673*10^-11*5.974*10²⁴*(23*60*60+56*60+4)²/(4p²)

Vilket ger

r = 4.2166*10⁷ m = 42166 km

Jordens radie är 6378 km så avståndet över jordytan blir

r - R = 42166 - 6378 = 35800 km, dvs c:a en tiondel av avståndet till månen.

Observera att sambandet vinkelhastighet - radie (ekvation 1) är ett sätt att skriva Keplers tredje lag:

(vinkelhastigheten)² = GM/r³ = (2p/P)² (2)

dvs

GM/(4p ²) = r ³/P ²

där allt i vänsterledet är konstanter.

Anmärkning 1. Vi har i härledningen ovan försummat den stora kroppens acceleration eftersom m är mycket mindre än M. Tar vi hänsyn till denna behöver vi byta ut M i ekvation 2 mot m+M.

Anmärkning 2. Man kan (med lite större besvär) härleda Kelers tredje lag för en elliptisk bana. Uttrycket blir som i ekvation 2 men med radien r utbytt mot halva storaxeln a.

Se även fråga 463

Nyckelord: geostationär satellit [8]; Keplers lagar [14]; satellitbana [15];