Ursprunglig fråga:
Hej! Schwarzschildradien ges av r=2GM/c^2. Jag funderade på om radien är samma om man är i omloppsbana runt det svarta hålet, och räknade med att centripetalkraften = gravitationskraften, och fick då att r=GM/v^2 (v är nära c). Denna radien är alltså 2 ggr kortare än Schwarzschildradien, så kan man inte räkna så? Eller skulle man kunna vara i omloppsbana runt ett svart hål innanför Schwarzschildradien? Om man inte kan räkna som jag gjorde, hur stor är radien om man ska vara i omloppsbana isåfall? Tack på förhand!
/Anton H, Nyköpings gymnasium, Nyköping

Svar:
Hej Anton! Eftersom du refererar till hastigheter nära ljushastigheten så duger inte de uttryck du använder. Du måste använda uttryck enligt den speciella relativitetsteorin. Detta diskuteras i Schwarzschild_radius#Relativistic_circular_orbits_and_the_photon_sphere .

Från Keplers lag (fråga 12644 ) får man för en cirkulär bana, som du mycket riktigt säger,

r = GM/v²

Detta gäller emellertid bara för icke-relativistiska värden på v. Det relativistiska uttrycket ger

(v/c)² (r/r_S - 1) = 1/2

För v = c blir detta

r = 3r_S/2

där

r_S = 2GM/c² (se fråga 18930 )

Detta betyder att banan i själva verket ligger utanför Schwarzschildradien r_S. Denna bana kallas foton-sfären eftersom fotoner med hastigheten c kan röra sig i en stabil cirkelbana.

Se även länk 1 (figuren nedan) och Photon_sphere .

Nyckelord: svart hål [51]; Keplers lagar [14];

1 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Astro/blkhol.html#c3