Ursprunglig fråga:
Hej! Jag har gjort en labb i fysik där man skulle bestämma batteriets maximala effekt. Jag mätte resistans och spänning i en metalltråd för att sedan plotta en PI-graf med hjälp av mina mätvärden. Trådens resistans R varierades genom längden. Nedan återges uppmätta värden på effekten P som funktion av strömmen I. Kurvan är en kvadratisk anpassning till punkterna.

Ekvationen till grafen jag får ut blev

P = -0.376I²+ 1,304I + 8,759 x 10 ^-3.

Min fråga är vad de olika koefficienterna står för och varför?
/Albert J, kitas gymnasium, göteborg

Svar:
Hej Josefin/Albert!

Förluster i batteriet brukar parametriseras genom att batteriet får en inre resistans R_i, se Inre_resistans och fråga 17476 .

Eftersom den sista termen i ditt uttryck ovan är mycket liten (0.008) kan vi bortse från denna. Dessutom måste ju den utvecklade effekten vid strömmen noll vara noll (kurvan måste gå genom origo). Ditt uttryck reduceras då till

U = -a*I² + b*I (1)

där a och b är fria parametrar.

Om vi tillämpar Kirchhoffs spänningslag på kretsen (se Kirchhoffs_lagar#Kirchhoffs_spänningslag ) får vi

EMS = R_i*I + R*I

där EMS är batterispänningen utan belastning (se fråga 17476 ).

Utvecklade effekten i tråden är

P = U*I = R*I*I = (EMS-R_i*I)*I = EMS*I - R_i*I²

dvs

P = -R_i*I² + EMS*I (2)

Om vi jämför (1) och (2) kan vi identifiera
a med inre resistansen R_i och
b med batterispänningen utan belastning EMS.

Vi får alltså R_i=0.376 Ω och EMS=1.304 V.

För maximal effekt kan vi derivera uttrycket (2):

P´ = -R_i*I*2 + EMS

För maximum skall P´ vara noll:

I_max = EMS/(2*R_i) = 1.304/(2*0.376) = 1.73 A (3)

Denna ström ger alltså maximal effekt i det yttre motståndet. Är detta ett bra val för t.ex. en glödlampa? Enligt (3) blir det yttre motståndet R lika med inre resistansen R_i. Detta betyder att det utvecklas lika mycket effekt i batteriet som i glödlampan (batteriet blir varmt), vilket är slöseri. Man bör alltså välja ett betydligt högre värde på det yttre motståndet.

Verkningsgraden = h = (nyttig effekt)/(total effekt) = R*I²/(R*I²+R_i*I²) =
R/(R+R_i) = 1/(1+R_i/R)

Verkningsgraden ökar alltså med ökande R (minskande I). Vid maximal ström är alltså verkningsgraden 0.5, dvs 50%. Det lämpligaste värdet på R är en kompromiss mellan hög ström och verkningsgrad. R=10*R_i ger t.ex. en verkningsgrad av 1/(1+0.1)= 91%. Idealet är naturligtvis att minska inre resistansen, men denna bestäms av hur batteriet är konstruerat.

Nyckelord: batteri [25]; verkningsgrad [26];

1 http://24volt.eu/kalkylator_inre_resistans_batteri.php