Tack på förhand. S.A.
/Sara A, Falu fri, Falun

Svar:
Sara! Normalt ger vi inte lösningar till räkneuppgifter (tanken är nog att det är eleverna som skall öva problemlösning, inte vi), men denna är principiellt intressant. Se diskussion på slutet.

Låt oss börja med att räkna ut den totala potentiella energin när K och M befinner sig i vila på taket:

mgh = (40+80)*10*20 = 24000 J

Efter 10 m fall har båda hastigheten v. De har då fallit 10 m. Vi kan räkna ut v genom att sätta rörelseenergin = potentiella energin:

mv²/2 = mgh

dvs

v = sqrt(2gh) = sqrt(2*10*10) = 10*sqrt(2)

(Observera att massan m kan förkortas bort, vilket reflekterar att alla kroppar faller lika fort om man bortser från luftmotståndet.)

Nu växelverkar K med M så att K:s hastighet blir noll (egentligen borde vi säga fart som är beloppet av hastighetsvektorn). Vi måste bevara rörelsemängden så att den är densamma före och efter knuffen:

Före:

m_K*v + m_M*v

Efter:

0 + m_M*v'

där v' är M:s hastighet efter knuffen.

Vi får

m_K*v + m_M*v = m_M*v'

dvs

v' = v(1+m_K/m_M) = 1.5v

K faller ytterligare 10 m från hastigheten noll och får därmed sluthastigheten

v_K = 10*sqrt(2) = 14.1 m/s

M har begynnelsehastigheten 1.5v dvs 1.5*10*sqrt(2). Från ekvation (4) i fråga 18438 får vi M:s sluthastighet v_M från

v_M² = (1.5*10*sqrt(2))² + 2*10*10 = 450 + 200 = 650

v_M = sqrt(650) = 25.5 m/s

Rörelseenergierna efter fallet blir alltså

40*(10*sqrt(2))²/2 = 4000 J

80*(sqrt(650))²/2 = 26000 J

Totala rörelseenergin blir alltså 30000 J. Den potentiella energin uppe på taket var 24000 J. Var kom då de extra 6000 J från?

Jo, skillnaden var det arbete som K utförde på M vid knuffen halvvägs ner. I detta fall (liksom i en oelastisk stöt där rörelseenergi försvinner i form av värme) bevaras allså inte rörelseenergin, så vi kan inte använda energiprincipen för att räkna ut hastigheten efter knuffen. Rörelsemängdens bevarande gäller emellertid alltid i ett system utan externa krafter.

Se även Elastic_collision och Inelastic_collision .

Fotnot: hur kan detta system antas vara utan extern kraft? Tyngdkraften verkar ju hela tiden på både M och K. Jo, det går bra så länge knuffen halvvägs sker under mycket kort tid. Då kan man anta att totala rörelsemängden bevaras.
/Peter E

Nyckelord: rörelseenergi [14]; rörelsemängd [15]; potential/potentiell energi [30];