Ursprunglig fråga:
Hej! Jag undrar varför en vattenstråle blir tunnare en bit nedanför kranen?

Tacksam för utförligt svar.
/Claudia M, Jensens Gymnasium, Stockholm

Svar:
Intressant fråga, så jag testade det genom ett litet experiment i vad som på engelska kallas "kitchen sink physics".

En möjlig förklaring är att vattnet faller fritt när det lämnar kranen. När hastigheten ökar måste därför strålens diameter minska för att vattnets volym skall bevaras. Vi använder formlerna för fallrörelse med konstant acceleration.

I figuren nedan syns att vattenstrålen definitivt bli tunnare allteftersom den rör sig nedåt.

Låt oss börja med några allmänna uttryck för likformig acceleration (konstant acceleration, t.ex. i tyngdkraftfältet), se Acceleration#Uniform_acceleration . Man brukar använda följande beteckningar för storheterna:

v sluthastighet (vid tiden t, m/s)
u begynnelsehastighet (vid tiden 0, m/s)
s sträcka (m)
a acceleration (m/s²)
t tid (s)

Acceleration definieras som (ändring i hastighet)/(tiden) dvs

a = (v-u)/t

Genom omgruppering får vi

v = u + at (1)

Medelhastigheten ges av

(u+v)/2 = s/t

vilket kan omgrupperas till

s = [(u + v)/2] t (2)

Vi använder (1) för att eliminera v från ekvation (2)

s = ut + at²/2 (3)

Slutligen använder vi (1) för att eliminera t i ekvation (2)

s = [(v+u)/2][(v-u)/a] = (v² - u²)/2a

vilket ger uttrycket

v² = u² + 2as (4)

VI kommer att använda ekvation (4) för att testa "fritt fall"-hypotesen.

Vi behöver först bestämma vattenflödet F. Vi gör detta genom att mäta tiden det tar att fylla ett enliters kärl. Det tog 90 sekunder, så flödet blir:

F = 1 [l]/90 [s] = 1*10^-3 [m³]/90 [s] = 1.11*10^-5 m³/s

Genom att mäta diametern hos den grå adaptern (33 mm) kunde en kalibrering för mm/pixel på bilden åstadkommas (originalet är 4 gånger större än nedanstående bild). Därefter kunde alla avstånd mätas och omräknas till mm.

I tabellen nedan finns alla uppmätta och uträknade data: avstånd från startpunkten*, strålens radie, hastigheten, fritt fall hastighet och differensen i hastighet.

____________________________________________________

D (mm)   r (mm)   v (m/s)   vB (m/s)   Differens (%)
 0        3.21     0.34     
 50       1.77     1.12      1.05        -6%
 94       1.47     1.62      1.45        -10%
____________________________________________________

Bevarande av flödet ger följande samband:

A*v = p r²*v = F

dvs

v = F/(p r²)

A är tvärsnittsytan, v är hastigheten och r är strålens radie.

För positionen D = 0 får vi t.ex.

v = 1.11*10^-5/(p(3.21*10^-3)²) = 0.34 m/s

Med hjälp av ekvation (4) ovan kan vi få ett beräknat värde på hastigheten om hypotesen fritt fall är korrekt:

v_B = sqrt(0.34² + 2g*50*10^-3) = sqrt(0.116 + 0.981) = 1.05 m/s

och

v_B = sqrt(1.12² + 2g*44*10^-3) = sqrt(1.25 + 0.86) = 1.45 m/s

Avvikelsen mellan de uppmätta värdena på hastigheterna och de som beräknats för fritt fall är -6% och -10%. Det är nog lite för stora avvikelser för att helt kunna förklaras som tillfälliga mätfel. Det tycks alltså komma in andra effekter, t.ex. ytspänning och laminär strömning, dvs att hastigheten inte är konstant över tvärsnittsytan, se Laminar_flow . Den svenska Wikipedia artikeln Laminär_strömning är ganska intetsägande, men innehåller ett kul skämt (bildtexten till bilden med fiskar).

I länk 1 beskrivs ett liknande experiment. Man använder sig av Bernoullis ekvation, som emellertid ger exakt samma resultat som i ekvation (4). Länk 2 behandlar acceleration och fritt fall (v-t diagram).

____________________________________________________________________

* För att undvika lokala effekter från kranen valdes nollpunkten en bit ner. Nedre punkten valdes lite ovanför 100 mm nivån eftersom bilden av strålen blir ganska otydlig.

Nyckelord: fallrörelse [31]; *vardagsfysik [64]; acceleration [6];

1 http://www.chabotcollege.edu/faculty/shildreth/physics/BernoulliLab.htm
2 http://www.lightandmatter.com/html_books/lm/ch03/ch03.html