Ursprunglig fråga:
Frågan gäller en berg-och-dal bana med en loop. Hur stor är centripetalaccelerationen längst upp på karusellen? Var är centripetalaccelerationen som störst?
/Ali z, BORGARSKOLAN, MALMÖ

Svar:
Ali! Jag hade lite svårt att förstå din fråga. Det du frågar om är nog en berg-och-dalbana (Roller_coaster , Roller_coaster_elements ) med en loop (Vertical_loop ), se nedanstående foto av den första loopen (Coney Island, New York) från Wikimedia Commons. Jag har kortat ner din fråga något.

Jag tänkte ta upp ett par saker av vad jag tror du frågade om: hur räknar man ut vagnens hastighet i olika punkter och hur stora är g-krafterna? Sajten Lisebergs-Fysik innehåller mycket mer information bland annat om berg-och-dal banor.

För att få någon idé om storlekar, hastigheter etc, så har jag tittat på data från ett typexempel, länk 1.

En klassisk berg-och-dal bana fungerar så att vagnen dras upp till maxhöjden, och får sedan rulla i princip fritt ner och upp längs spåret. En förenklad version visas i figuren nedan. Vagnen startar med hastigheten 0 från punkt 1. Den accelereras nedför backen och går runt loopen. I verkligheten är naturligtvis loopen lite skruvad så att utgången är vid sidan av ingången.

Om vi antar att det inte finns några friktionsförluster kan vi använda energiprincipen för att räkna ut hastigheten i olika punkter: Totala energin = potentiell energi + kinetisk energi, E_pot + E_kin = konstant.

Vagnens massa är M kg och vi räknar med tyngdaccelerationen g=10 m/s². Radien på loopen är r=5 m.

I tabellen nedan listas värden för punkterna 1-4. De olika kolumnerna är:

Nr Punkt nummer

h Höjd över nollnivån (lägsta nivån [punkt 2] har h=0)

E_pot Potentiell energi: Mgh

E_kin = 160M - E_pot

v² räknas ut från E_kin = Mv²/2

v räknas ut från v²

v²/r är centripetalaccelerationen i cirkelbanan i m/s²

C acc är centripetalaccelerationen uttryckt i g

Totalt g är totala g-kraften om vi även tar tyngdaccelerationen i beaktande, se vektordiagrammen längst ner i figuren. I stället för att involvera krafter är det i detta fallet enklare att räkna med accelerationer. Tyngkraften motsvaras då av en acceleration riktad rakt upp med beloppet 1g (de små svarta pilarna i figuren).

Nr  h    Epot    Ekin     v2     v     v2/r    C acc   Totalt g
1  16   160M      0      0     0       
2   0     0     160M    320    18     64      6.4      7.4
3   5    50M    110M    220    15     44      4.4      4.5
4  10   100M     60M    120    11     24      2.4      1.4
    m     J       J    (m/s)2  m/s    m/s2     

Vi kan räkna ut vad starthöjden skulle vara om centripetalaccelerationen i punkt 4 skulle vara g, dvs passagerarana skulle vara tyngdlösa:

v²/r = 10 -> v² = 10*5 = 50

E_kin = Mv²/2 = M*50/2 = 25M

Potentiella energin 25M motsvarar höjden 2.5 m, så starthöjden behöver vara 12.5 m för att centripetalaccelerationen i punkt 4 precis skall kompensera tyngaccelerationen.

Kommentarer

1 Maximala g-kraften i detta exemplet är 7.4 (i punkt 2) medan det i länk 1 sägs att den maximala g-kraften är 4. Ett skäl till avvikelsen kan vara att loopen inte vilar på lägsta nivån eller har större radie. Ett annat skäl är att man gör inte loopen cirkulär, utan päronformad med tjocka änden nedåt. Man får då en större krökningsradie där vagnen rör sig snabbast, och en mindre radie där den rör sig långsammast. Man jämnar alltså ut g-kraftena i loopen.

2 Det kan tyckas farligt att vagnen är upp-och-ner i toppen av loopen. I moderna anläggningar (men inte i den avbildade nedan) har man dubbla skenor både över och under hjulen. Om alltså vagnen skulle tappa fart så att den inte går tillräckligt snabbt på toppen, så skulle den ändå hänga kvar i de extra skenorna.

Se även Berg-_och_dalbana .

Nyckelord: *nöjesparksfysik [12]; g-krafter [18]; potential/potentiell energi [30]; rörelseenergi [14];

1 http://www.rcdb.com/181.htm