Ursprunglig fråga:
Hej Angående flykthastighet (fråga 3782) Jag är lärare på grundskolan och där använder vi inte integraler för beräkning av flykthastighet. Resonemanget är i stället att den potentiella energi en kropp har vid jordytan, i förhållande till jordens tyngdpunkt, är jordradien*g*m. Hela denna energi skall omvandlas till rörelseenergi mv2/2.

Vi finner naturligtvis att m förkortas "bort" och när vi löser ut

v=sqr(2*9,82*6,3471*10⁶)

blir flykthastigheten 11,19. På mostsvarande sätt gör vi för månen. Finns det någon invändning mot ovanstående resonemang? Undrar och hälsar Nils C
/Nils Eric C, Påarp, Helsingborg

Svar:
Det är inte fel att räkna ut flykthastigheten från den potentiella energin vid jordytan (-mgR). Problemet är bara var man får uttrycket ifrån. Om det kommer från det vanliga uttrycket för potentiell energi nära jordytan mgh så är det fel. Det är bara en tillfällighet att uttrycken är så lika. Uttrycket mgh gäller bara om kraften är konstant, dvs nära marken. Den korrekta härledningen av uttrycket kräver att man integrerar, se nedan.

Låt oss först räkna ut flykthastigheten från ovanstående uttryck. Massan m på jordytan är alltså bunden med energin (-mgR). För att massan skall vara fri från från jordens gravitation måste vi tillföra kinetisk energi med samma belopp. Massan har då potentiella energin noll, och är fri. Vi får

mv²/2 = mgR

dvs

v = sqrt(2gR) = sqrt(2*9.82*6.37*10^6) = 11200 m/s = 11.2 km/s

Eftersom kraften på massan m varierar när vi tar den från jordytan till oändligheten, så kan man inte komma ifrån integration. Kraften mellan massorna m och M är

F = GmM/r²

där r är avståndet och G är gravitationskonstanten. Om vi integrerar kraften får vi potentialen

U = -GmM/r

Det gäller alltså att

U = -F*r

Detta beror på att avståndsberoendet hos kraften är som 1/r². Vid jordytan r=R gäller alltså

U = -F*R = -mgR

där vi eliminerat gravitationskonstanten G genom att i stället använda tyngdaccelerationen g (tyngdkraften vid jordytan på massan m är ju mg).
/Peter E

Se även fråga 3782

Nyckelord: potential/potentiell energi [30]; Newtons gravitationslag [12]; flykthastighet [4];