Kraft-Rörelse [14685] Ursprunglig fråga: Svar: Det universiella navigeringssystemet GPS (se Global_Positioning_System och nedanstående figur från Wikimedia Commons) med 24 satelliter i bana runt jorden på en höjd av 20000 km skulle helt enkelt inte fungera om man inte tog hänsyn till relativitetsteorierna. Dels orsakar banrörelsen att den mycket exakta klockan i en satellit saktar sig 7 mikrosekunder per dygn pga den speciella relativitetsteorin. Eftersom satelliten befinner sig i ett svagare gravitationsfält går klockan 45 mikrosekunder per dygn snabbare. Nettokorrektionen 45-7=38 mikrosekunder per dygn appliceras genom att man justerar klockan att gå lite långsammare innan satelliten skickas upp. Man synkroniserar även alla klockorna med hjälp av klockor på marken. Se vidare länk 1. Se vidare Special_relativity och General_relativity . Tillägg 5/4/2011: Uppskattning av effekterna Konstanter: Speciell relativitet Vi räknar från jordens centrum eftersom satelliterna går ganska högt och jordens rotationshastighet är liten (mindre än 500 m/s) jämfört med satelliternas hastighet. Satellitens hastighet v ges av mv2/RGPS = mMG/(RGPS)2 vilket blir v = sqrt(MG/RGPS) = sqrt(5.97*1024*6.67*10-11/(26.367*106) = 3886 m/s Klockan påverkas med g-faktorn (Special_relativity#Time_dilation_and_length_contraction ) g = sqrt(1-(v/c)2) =
sqrt(1-(3886/300000000)^2) = 0.9999999999161055 Den relativa korrektionen blir 1 - g = 8.389*10-11 och korrektionen på ett dygn blir 8.389*10-11*60*60*24 = 7.25*10-6 s eller c:a 7 mikrosekunder. Allmän relativitet Denna korrektion har att göra med att man måste bevara totala energin även i ett gravitationsfält, se fråga 16989 , stycket gravitationell rödförskjutning. För att bevara energiprincipen måste tiden i ett starkt gravitationsfält gå långsammare än i ett svagare. Tiden går alltså till synes snabbare i GPS satelliterna än på jordytan. Den relativa korrektionen ges av potentialskillnaden dividerat med viloenergin mc2 (m är satellitens massa som kommer att försvinna i slututtrycket). Om gravitationspotentialen är U(r) så gäller genom integration av gravitationskraften U(r) = -mMG/r Ändringen i potentiell energi om vi går från jordytan till satellitbanan blir DU = -mMG/RGPS -(-mMG/R) = -mMG(1/RGPS -1/R) Med insatta värden blir DU = m*4.714 107 Om vi dividerar detta med viloenergin mc2 får vi den relativa korrektionen till 5.237 10-10 På ett dygn blir korrektionen 5.237 10-10*24*60*60 s = 45.2 mikrosekunder vilket stämmer bra med värdet ovan. Nyckelord: relativitetsteorin, allmänna [33]; GPS [3]; relativitetsteorin, speciella [45]; 1 http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html Frågelådan innehåller 7624 frågor med svar. ** Frågelådan är stängd för nya frågor tills vidare **
|
Denna sida från NRCF är licensierad under Creative Commons:
Erkännande-Ickekommersiell-Inga bearbetningar.