Ursprunglig fråga:
Jag skriver ett arbete på gymnasienivå (Fysik B) om biomekanik med fokus på friidrottens hopp- och kastgrenar. Jag har dock kört fast vad gäller den rent teoretiska härledningen för utkastvinkeln och undrar om ni kan hjälpa mig. Den teoretiskt optimala vinkeln är 45 grader, men jag kommer inte ihåg hur härledningen ser ut.
/Anna S, NTI, Falun

Svar:
En kastparabel är den bana som ett föremål som kastas beskriver då föremålet endast påverkas av tyngdaccelerationen i ett gravitationsfält och där hastigheten i horisontalled är större än noll.

För fallet utan luftmotstånd är det lätt att bevisa att den optimala utkastvinkeln är 45^o. Vi kallar utgångsvinkeln x^o. Vi delar upp rörelsen i två komponenter: en horisontell med konstant hastighet och en vertikal med accelerationen g nedåt. Om utgångshastigheten är v blir den vertikala komponenten v sin(x) och den horisontella v cos(x).

Från den vertikala rörelsen kan vi räkna ut hur lång tid det tar för det kastade föremålet att falla från en viss höjd så att dess sluthastighet är v sin(x):

v sin(x) = gt

Eftersom fallet är spegelbilden av uppfärden (detta gäller bara om vi kan bortse från luftmotståndet) blir den totala tiden för hela kaströrelsen 2t:

2t = 2v sin(x)/g (1)

Det horisontella rörelsen sker med konstant hastighet, så kastlängden s ges av:

s = v cos(x) (2t) = v cos(x) (2v sin(x)/g)

dvs

s = 2v² sin(x) cos(x)/g = v² sin(2x)/g (2)

Maximum för sin(2x) uppnås för 2x = 90^o, dvs den optimala utkastvinkeln är 45^o.

Vi kan från ekvation 1 även räkna ut maxhöjden h:

t = v sin(x)/g

h = gt²/2 = g((v sin(x))/g)²/2

dvs

h = (v sin(x))²/2g (3)

Vi kan räkna ut h även från att kinetiska energin i x-led vid utkastögonblicket skall vara lika med den potentiella energin i vändläget (höjden h):

m(v sin(x))²/2 = mgh

dvs

h = (v sin(x))²/2g

vilket är samma uttryck som (3).

Länk 1 ger ett uttryck för den optimala vinkeln om man tar hänsyn till att utkastpunkten ligger högre än landningspunkten. Den optimala vinkeln blir då lite mindre än 45^o.

Sedan är det en annan sak att utgångsvinkeln i verkligheten för de flesta relevanta grenar (t.ex. kulstötning) är betydligt mindre än 45^o. Utgångsvinkeln varierar också mellan olika idrottare. Detta beror på fysiologi och att ansatsen sker i horisontalplanet. Det går alltså att få en högre utgångshastighet om man minskar utgångsvinkeln något. Optimeringsproblemet blir då lite mer komplicerat. Om man tar hänsyn till luftmotståndet visar det sig att den optimala vinkeln blir mindre är 45^o.
/Peter E

Nyckelord: kastparabel [10]; *idrottsfysik [42];

1 http://fysikguiden.se/kastrorelse/berakna-langd-en-kastrorelse/