Aktiviteten hos en radioaktiv källa ges som -dN/dt=lambda*N. Säg att vi har ett ämne A som sönderfaller till ett annat ämne B, som i sin tur sönderfaller till ett tredje ämne C. Om vi tittar på ämne B så får vi ju ett bidrag från A och ett sönderfall till C. För att beräkna Aktiviteten hos B, kan man bara multiplicera det slutgiltiga uttrycket för N(B) med lambdaB, eller ska man derivera uttrycket för B m.a.p. tiden?
/Hans J, Umeå

Svar:
Hans, vi försöker svara på alla vettiga och fysikrelaterade frågor som kommer in, oavsett ålder och bakgrund hos de frågande!

Det korta svaret på din fråga blir att aktiviteten av B är lika med N(B)*lambda(B) - ingen extra derivering behövs.

En litet längre och utförligare svar kan vi också erbjuda. Vi har att göra med en sönderfallskedja, där alltså kärnan A sönderfaller till B, som i sin tur sönderfaller till C. Detta är mycket vanligt även i naturen - t.ex. bildas radon, vilkets sönderfall ju kan orsaka stora hälsoproblem, i en av de naturliga sönderfallskedjorna som startar i uran eller torium och slutar i bly. (Se bilden nedan!)

Låt oss anta att vi från början bara har atomer av A närvarande:
N(A,t=0) = N0:
N(B,t=0) = N(C,t=0) = 0

Om vi tittar på hur antalet atomer av A och B ändras med tiden får vi då (L betecknar sönderfallskonstanten lambda, som definieras som 0.693/T_1/2):
dN(A) = -L(A)*N(A)*dt
dN(B) = L(A)*N(A)*dt - L(B)*N(B)*dt

Som vanligt kan vi ta reda på antalet moderkärnor som finns kvar vid tiden t med hjälp av ekvationen
N(A,t) = N(A,t=0)*exp{-L(A)*t}

Om vi nu antar att N(B,t) = X*exp{-L(A)*t} + Y*exp{-L(B)*t} är en bra lösning till differentialekvationen för dN(B) ovan, och samtidigt använder att N(B,t=0) = 0, får vi följande två uttryck för hur dels N(B), dels aktiviteten av B (akt(B)) ändras med tiden:
N(B,t) = N0*L(A)*(exp{-L(A)*t} - exp{-L(B)*t})/(L(B) - L(A))
akt(B,t) = L(B)*N(B,t) = N0*L(A)*L(B)*(exp{-L(A)*t} - exp{-L(B)*t})/(L(B) - L(A))

Om A har en mycket längre halveringstid än B - alltså lambda(A) är mycket mindre än lambda(B) - får detta intressanta konsekvenser för N(B,t):
N(B,t) ~ N0*L(A)*(1 - exp{-L(B)*t})/L(B)
varav följer att lim[akt(B,t)] ~ N0*L(A)

Efter en viss tid (som naturligtvis beror på lambda(B)) kommer då lika många atomer av B att bildas per tidsenhet som de som sönderfaller. Detta kallas "sekulär jämvikt", och behandlas utförligt i svaret till fråga 12335 nedan.

Bilden visar den naturliga sönderfallskedjan som startar med torium-232 och, efter en lång serie alfa- och beta-sönderfall, slutar i bly-208, inritad som funktion de inblandade kärnornas neutrontal N och protontal Z.

Se även fråga 12335 och fråga 693

Nyckelord: radioaktivitet, sönderfallskedja [7];